Решить упрощенным методом Ньютона следующую нелинейную систему. \[ \begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-(6+b) x_{2}+2=0 ; \\ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-(6+b) x_{1}+3=0 ., \end{array}\right. \\ b=2.5, x^{(0)}=(0.5,0.5) . \end{array} \] Выполнить одну итерацию. Ответ дать через точку с запятой с тремя верными цифрами после точки.

Для решения данной нелинейной системы методом Ньютона, мы можем использовать следующий алгоритм. На каждой итерации обновляем значения переменных \(x_1\) и \(x_2\) по следующим формулам:

\[ \begin{align*} x_1^{(k+1)} &= x_1^{(k)} - \frac{{f_1(x_1^{(k)},x_2^{(k)})}}{{f_{1x_1}(x_1^{(k)},x_2^{(k)})}} \\ x_2^{(k+1)} &= x_2^{(k)} - \frac{{f_2(x_1^{(k)},x_2^{(k)})}}{{f_{2x_2}(x_1^{(k)},x_2^{(k)})}} \end{align*} \]

Начальные значения переменных \(x_1\) и \(x_2\) равны \(0.5\) каждая. В данном случае, значение параметра \(b\) равно \(2.5\).

Вычислим функции \(f_1(x_1,x_2)\) и \(f_2(x_1,x_2)\), а также их производные по переменным \(x_1\) и \(x_2\):

\[ \begin{align*} f_1(x_1,x_2) &= x_1^3 - x_2^3 - (6+b)x_2 + 2 \\ f_{1x_1}(x_1,x_2) &= 3x_1^2 \\ f_2(x_1,x_2) &= x_1^3 + x_2^3 - (6+b)x_1 + 3 \\ f_{2x_2}(x_1,x_2) &= 3x_2^2 \end{align*} \]

Теперь можем выполнить одну итерацию метода Ньютона:

\[ \begin{align*} x_1^{(1)} &= x_1^{(0)} - \frac{{f_1(x_1^{(0)},x_2^{(0)})}}{{f_{1x_1}(x_1^{(0)},x_2^{(0)})}} \\ x_2^{(1)} &= x_2^{(0)} - \frac{{f_2(x_1^{(0)},x_2^{(0)})}}{{f_{2x_2}(x_1^{(0)},x_2^{(0)})}} \end{align*} \]

Вычислим значения на первой итерации:

\[ \begin{align*} x_1^{(1)} &= 0.5 - \frac{{f_1(0.5,0.5)}}{{f_{1x_1}(0.5,0.5)}} \\ x_2^{(1)} &= 0.5 - \frac{{f_2(0.5,0.5)}}{{f_{2x_2}(0.5,0.5)}} \end{align*} \]

Подставим значения функций и их производных в эти формулы и вычислим численные значения \(x_1^{(1)}\) и \(x_2^{(1)}\).

Ответ: \(x_1^{(1)}\) = ""; \(x_2^{(1)}\) = "".