7. ABCD — прямоуг ольник с периметром, рав ным 42 см, у которог о BD =15 см. Найдите радиус окружности, в пи санной в треуг ольник ADC.
Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение.
Дано:
- ABCD — прямоугольник
- Периметр прямоугольника \( P = 42 \) см
- Диагональ \( BD = 15 \) см
- Требуется найти радиус окружности, вписанной в треугольник \( ADC \).
Шаг 1. Найти стороны прямоугольника ABCD
Обозначим стороны прямоугольника:
- \( AB = CD = a \)
- \( AD = BC = b \)
Периметр прямоугольника: \[ P = 2(a + b) = 42 \implies a + b = 21 \]
Шаг 2. Используем диагональ
Диагональ \( BD \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \): \[ BD^2 = a^2 + b^2 \] Подставляем значение \( BD = 15 \) см: \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \]
Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 21 \\ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} \]
Шаг 3. Выразим один из параметров через другой
Из первого уравнения: \[ b = 21 - a \] Подставляем во второе уравнение: \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] Объединяем подобные члены: \[ a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 441 = 225 \] Переносим все в левую сторону: \[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \] \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \] Делим все на 2: \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \]
Шаг 4. Решаем квадратное уравнение
Дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \]
Корни: \[ a = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{21 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: \[ a = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] или \[ a = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
Correspondingly:
- Если \( a = 12 \), то \( b = 21 - 12 = 9 \)
- Если \( a = 9 \), то \( b = 12 \)
Шаг 5. Рассмотрим треугольник ADC
Теперь нужно найти радиус вписанной окружности в треугольник \( ADC \).
Так как ABCD — прямоугольник, то точка C будет иметь координаты:
- Пусть \( A = (0, 0) \)
- \( B = (a, 0) \)
- \( D = (0, b) \)
Тогда \( C = (a, b) \).
Треугольник \( ADC \):
- \( A = (0, 0) \)
- \( D = (0, b) \)
- \( C = (a, b) \)
Шаг 6. Вычисляем стороны треугольника \( ADC \)
- \( AD = b \)
- \( AC = a \)
- \( DC \): расстояние между \( D(0, b) \) и \( C(a, b) \) \[ DC = |a - 0| = a \]
Итак, даем стороны треугольника: \[ AD = b, \quad AC = a, \quad DC = a \]
Шаг 7. Найти площадь треугольника \( ADC \)
Этот треугольник является прямоугольным:
- Он лежит на основании \( AC \) и высоте \( b \) (или наоборот).
Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]
Используем базу \( AC = a \) и высоту \( b \) (поскольку \( D \) и \( C \) лежат на линии \( y = b \)):
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
Шаг 8. Радиус вписанной окружности
Формула радиуса \( r \) вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( p \) — полупериметр этого треугольника.
Периметр треугольника \( ADC \): \[ P_{ADC} = a + a + b = 2a + b \] Полупериметр: \[ p = \frac{2a + b}{2} \]
Подставим: \[ r = \frac{\frac{1}{2} a b}{(2a + b)/2} = \frac{\frac{1}{2} a b \times 2}{2a + b} = \frac{a b}{2a + b} \]
Шаг 9. Варианты
Подставляем возможные значения \( a \) и \( b \):
\( a = 12 \), \( b = 9 \): \[ r = \frac{12 \times 9}{2 \times 12 + 9} = \frac{108}{24 + 9} = \frac{108}{33} = \frac{36}{11} \approx 3,27 \text{ см} \]
\( a = 9 \), \( b = 12 \): \[ r = \frac{9 \times 12}{2 \times 9 + 12} = \frac{108}{18 + 12} = \frac{108}{30} = 3.6 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус вписанной окружности в треугольник \( ADC \) равен либо \(\dfrac{36}{11} \text{ см} \approx 3,27 \text{ см}\), либо 3,6 см, в зависимости от выбора сторон прямоугольника.
Если нужно подсказать более точный ответ, лучше взять тот вариант, в котором стороны прямоугольника так и не менялись, так как оба варианта допустимы.
Наиболее вероятный ответ: около 3,3 см — для обеих случаев это примерно одинаково.
Если есть еще вопросы — спрашивайте!
