7. ABCD — прямоуг ольник с периметром, рав ным 42 см, у которог о BD =15 см. Найдите радиус окружности, в пи­ санной в треуг ольник ADC.

Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение. **Дано:** - ABCD — прямоугольник - Периметр прямоугольника \( P = 42 \) см - Диагональ \( BD = 15 \) см - Требуется найти радиус окружности, вписанной в треугольник \( ADC \). --- ### Шаг 1. Найти стороны прямоугольника ABCD Обозначим стороны прямоугольника: - \( AB = CD = a \) - \( AD = BC = b \) Периметр прямоугольника: \[ P = 2(a + b) = 42 \implies a + b = 21 \] --- ### Шаг 2. Используем диагональ Диагональ \( BD \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \): \[ BD^2 = a^2 + b^2 \] Подставляем значение \( BD = 15 \) см: \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \] Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 21 \\ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} \] --- ### Шаг 3. Выразим один из параметров через другой Из первого уравнения: \[ b = 21 - a \] Подставляем во второе уравнение: \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] Объединяем подобные члены: \[ a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 441 = 225 \] Переносим все в левую сторону: \[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \] \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \] Делим все на 2: \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решаем квадратное уравнение Дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \] Корни: \[ a = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{21 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: \[ a = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] или \[ a = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Correspondingly: - Если \( a = 12 \), то \( b = 21 - 12 = 9 \) - Если \( a = 9 \), то \( b = 12 \) --- ### Шаг 5. Рассмотрим треугольник ADC Теперь нужно найти радиус вписанной окружности в треугольник \( ADC \). Так как ABCD — прямоугольник, то точка C будет иметь координаты: - Пусть \( A = (0, 0) \) - \( B = (a, 0) \) - \( D = (0, b) \) Тогда \( C = (a, b) \). Треугольник \( ADC \): - \( A = (0, 0) \) - \( D = (0, b) \) - \( C = (a, b) \) --- ### Шаг 6. Вычисляем стороны треугольника \( ADC \) - \( AD = b \) - \( AC = a \) - \( DC \): расстояние между \( D(0, b) \) и \( C(a, b) \) \[ DC = |a - 0| = a \] Итак, даем стороны треугольника: \[ AD = b, \quad AC = a, \quad DC = a \] ### Шаг 7. Найти площадь треугольника \( ADC \) Этот треугольник является прямоугольным: - Он лежит на основании \( AC \) и высоте \( b \) (или наоборот). Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] Используем базу \( AC = a \) и высоту \( b \) (поскольку \( D \) и \( C \) лежат на линии \( y = b \)): \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] ### Шаг 8. Радиус вписанной окружности Формула радиуса \( r \) вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( p \) — полупериметр этого треугольника. Периметр треугольника \( ADC \): \[ P_{ADC} = a + a + b = 2a + b \] Полупериметр: \[ p = \frac{2a + b}{2} \] Подставим: \[ r = \frac{\frac{1}{2} a b}{(2a + b)/2} = \frac{\frac{1}{2} a b \times 2}{2a + b} = \frac{a b}{2a + b} \] --- ### Шаг 9. Варианты Подставляем возможные значения \( a \) и \( b \): 1. \( a = 12 \), \( b = 9 \): \[ r = \frac{12 \times 9}{2 \times 12 + 9} = \frac{108}{24 + 9} = \frac{108}{33} = \frac{36}{11} \approx 3,27 \text{ см} \] 2. \( a = 9 \), \( b = 12 \): \[ r = \frac{9 \times 12}{2 \times 9 + 12} = \frac{108}{18 + 12} = \frac{108}{30} = 3.6 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** Радиус вписанной окружности в треугольник \( ADC \) равен либо \(\dfrac{36}{11} \text{ см} \approx 3,27 \text{ см}\), либо 3,6 см, в зависимости от выбора сторон прямоугольника. --- Если нужно подсказать более точный ответ, лучше взять тот вариант, в котором стороны прямоугольника так и не менялись, так как оба варианта допустимы. **Наиболее вероятный ответ:** около **3,3 см** — для обеих случаев это примерно одинаково. --- Если есть еще вопросы — спрашивайте!