Укажите варианты ответов, в которых верно определена грамматическая основа в одном из предложений или в одной из частей сложного предложения текста. Запишите номера ответов.…

Определим грамматическую основу каждого из предложений или их частей:

1. Пушкин написал (предложение 1)
   Грамматическая основа: Пушкин написал (кто? Пушкин — подлежащее, что сделал? написал — сказуемое).
   Это полноценное предложение.
   Ответ: номер 1.

2. экземпляр подарил (предложение 2)
   Грамматическая основа: экземпляр подарил — здесь отсутствует дополнение или уточнение, почему и кому подарил.
   Это часть предложения, не полное, но если рассматривать как самостоятельное, то подлежащее — "экземпляр", сказуемое — "подарил". В этом случае грамматическая основа есть.
   Ответ: номер 2.

3. Луганский — имя (предложение 3)
   Это предложение компаративно-связное: "Луганский — имя"
   Грамматическая основа: Луганский — имя (подлежащее — Луганский, именное сказуемое — имя).
   Ответ: номер 3.

4. он был из казаков (предложение 4)
   Грамматическая основа: он был — подлежащее (он), сказуемое (был).
   Это простое полноценное предложение.
   Ответ: номер 4.

5. отец служил библиотекарем (предложение 5)
   Грамматическая основа: отец служил (подлежащее — отец, сказуемое — служил).
   Дополнение: "библиотекарем" — обстоятельство или дополнение.
   Это самостоятельное предложение.
   Ответ: номер 5.

Итог:
Верно определены грамматические основы в предложениях/частях: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5