Давайте подробно разберём каждое утверждение и определим, какие из них верные.
Задача 1:
«Если радиус описанной окружности правильного треугольника равен 8√3 см, то радиус вписанной окружности и стороны треугольника равны 43 см и 12 см соответственно.»
Решение:
Обозначим:
- R — радиус описанной окружности для правильного треугольника
- r — радиус вписанной окружности
- a — сторона треугольника
Формулы для правильного треугольника:
[
R = \frac{a \sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Задача:
[
R = 8 \sqrt{3}
]
Подставим в формулу для R:
[
8 \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3}
]
Упростим, сократив (\sqrt{3}):
[
8 = \frac{a}{3}
\Rightarrow a = 24
]
Радиус вписанной окружности:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \times \sqrt{3}}{6} = 4 \sqrt{3} \approx 4 \times 1,732 = 6,928 \text{ см}
]
Однако в утверждении указано, что r равно 43 см и сторона равна 12 см. Это не совпадает с нашими расчетами, следовательно, утверждение неверно.
Задача 2:
«Если сторона квадрата равна 10√2 см, то радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности равны 20 и 10 см соответственно.»
Формулы для квадрата:
- Радиус вписанной окружности ( r_{впис} = \frac{a}{2} )
- Радиус описанной окружности ( R_{опис} = \frac{a \sqrt{2}}{2} )
Подставим ( a = 10 \sqrt{2} ):
[
r_{впис} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 5 \times 1,414 = 7,07 \text{ см}
]
[
R_{опис} = \frac{10 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10 \text{ см}
]
В утверждении указано, что радиус вписанной окружности равен 20 см, а описанной — 10 см, что противоречит нашему расчету, так как правильные значения:
- ( r_{впис} \approx 7,07 \text{ см} )
- ( R_{опис} = 10 \text{ см} )
Следовательно, утверждение неверное.
Задача 3:
«Если радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен 4√3 см, то сторона шестиугольника и радиус вписанной окружности равны 4√3 см и 6 см соответственно.»
На заметку:
- В правильном шестиугольнике:
[
R = a
]
где ( R ) — радиус описанной окружности, ( a ) — сторона
- Радиус вписанной окружности ( r ) и сторона связаны формулой:
[
r = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Дано:
[
R = 4 \sqrt{3}
]
Тогда:
[
a = R = 4 \sqrt{3}
]
Находим радиус вписанной окружности:
[
r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 4 \sqrt{3}}{2}
]
Расчёт:
[
\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3
]
Следовательно:
[
r = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6
]
Итог: стороны ( a = 4 \sqrt{3} ) см и радиус вписанной окружности ( r = 6 ) см — верные.
Объявляем это утверждение верным.
Итог:
- Утверждение 1 — Неверное
- Утверждение 2 — Неверное
- Утверждение 3 — Верное
Если нужно, я могу дать более подробные объяснения или помочь разобраться в каком-либо из пунктов.
