Давайте подробно разберём каждое утверждение и определим, какие из них верные.

Задача 1:

«Если радиус описанной окружности правильного треугольника равен 8√3 см, то радиус вписанной окружности и стороны треугольника равны 43 см и 12 см соответственно.»

Решение:

• Обозначим:

  • R — радиус описанной окружности для правильного треугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • a — сторона треугольника

• Формулы для правильного треугольника:
  \[ R = \frac{a \sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

• Задача:
  \[ R = 8 \sqrt{3} \]

• Подставим в формулу для R:
  \[ 8 \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \]

• Упростим, сократив \(\sqrt{3}\):
  \[ 8 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 24 \]

• Радиус вписанной окружности:
  \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{24 \times \sqrt{3}}{6} = 4 \sqrt{3} \approx 4 \times 1,732 = 6,928 \text{ см} \]

• Однако в утверждении указано, что r равно 43 см и сторона равна 12 см. Это не совпадает с нашими расчетами, следовательно, утверждение неверно.

Задача 2:

«Если сторона квадрата равна 10√2 см, то радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности равны 20 и 10 см соответственно.»

• Формулы для квадрата:

  • Радиус вписанной окружности \( r_{впис} = \frac{a}{2} \)
  • Радиус описанной окружности \( R_{опис} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \)

• Подставим \( a = 10 \sqrt{2} \):

  \[ r_{впис} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \approx 5 \times 1,414 = 7,07 \text{ см} \]

  \[ R_{опис} = \frac{10 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10 \text{ см} \]

• В утверждении указано, что радиус вписанной окружности равен 20 см, а описанной — 10 см, что противоречит нашему расчету, так как правильные значения:

  • \( r_{впис} \approx 7,07 \text{ см} \)
  • \( R_{опис} = 10 \text{ см} \)

Следовательно, утверждение неверное.

Задача 3:

«Если радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен 4√3 см, то сторона шестиугольника и радиус вписанной окружности равны 4√3 см и 6 см соответственно.»

На заметку:

• В правильном шестиугольнике:
  \[ R = a \] где \( R \) — радиус описанной окружности, \( a \) — сторона
• Радиус вписанной окружности \( r \) и сторона связаны формулой:
  \[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Дано:
\[ R = 4 \sqrt{3} \] Тогда:
\[ a = R = 4 \sqrt{3} \]

Находим радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 4 \sqrt{3}}{2} \]

Расчёт:
\[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \] Следовательно:
\[ r = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Итог: стороны \( a = 4 \sqrt{3} \) см и радиус вписанной окружности \( r = 6 \) см — верные.

Объявляем это утверждение верным.

Итог:

• Утверждение 1 — Неверное
• Утверждение 2 — Неверное
• Утверждение 3 — Верное

Если нужно, я могу дать более подробные объяснения или помочь разобраться в каком-либо из пунктов.