исследуйте с помощью производной функцию: 8/х+х/2
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2} \]
Цель — исследовать эту функцию с помощью производной, то есть найти её первую производную, определить её знак, а также точки экстремума и поведение.
Шаг 1. Запишем функцию более явно:
\[ f(x) = 8x^{-1} + \frac{x}{2} \]
Шаг 2. Найдём производную \( f'(x) \):
- Производная \( 8x^{-1} \): \[ \frac{d}{dx}(8x^{-1}) = 8 \cdot (-1) x^{-2} = -8 x^{-2} \]
- Производная \( \frac{x}{2} \): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \]
Объединяем:
\[ f'(x) = -8 x^{-2} + \frac{1}{2} \]
Это можно записать так:
\[ f'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} \]
Шаг 3. Анализируем знак производной \( f'(x) \):
\[ f'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ f'(x) = \frac{-16}{2 x^2} + \frac{x^2}{2 x^2} = \frac{-16 + x^2}{2 x^2} \]
Итак,
\[ f'(x) = \frac{x^2 - 16}{2 x^2} \]
Шаг 4. Исследуем критические точки, когда \( f'(x) = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 16}{2 x^2} = 0 \]
Это равенство выполнено, когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):
\[ x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \]
Обратите внимание: \( x \neq 0 \), так как функции включают деление на x.
Шаг 5. Анализируем знак \( f'(x) \):
Для \( x \in (-\infty, -4) \):
Возьмём тестовую точку, например, \( x = -5 \):
\[ (-5)^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0 \]
Знак числителя — положительный, знаменатель \( 2 x^2 \) всегда положителен при \( x \neq 0 \). Значит, \( f'(x) > 0 \) на этом интервал.
Для \( x \in (-4, 4) \):
Тестовая точка — \( x = 0 \), но в этой точке функция не определена (деление на 0). Поэтому спрашиваем о знаке в интервале между \(-4\) и \(4\), кроме нуля.
Например, \( x = 1 \):
\[ (1)^2 - 16 = 1 - 16 = -15 < 0 \]
Знак отрицательный. Тогда, для \( x \in (-4, 0) \):
например, \( x = -2 \):
\[ 4 - 16 = -12 < 0 \]
Значит, в интервале \((-4, 0)\) — \( f'(x) < 0 \)
Для \( x \in (0, 4) \), например, \( x=2 \):
\[ 4 - 16 = -12 < 0 \]
Также \( f'(x) < 0 \) для \( x \in (0,4) \).
Для \( x \in (4, \infty) \):
Тестовая точка, например, \( x=5 \):
\[ 25 - 16 = 9 > 0 \]
Значит, \( f'(x) > 0 \) на интервале \((4, \infty)\).
Шаг 6. Итоговая картина:
- \( f'(x) > 0 \) при \( x < -4 \) и при \( x > 4 \),
- \( f'(x) < 0 \) при \( -4 < x < 4 \), кроме точек \( x=0 \), где функция не определена.
Шаг 7. Значения \( x = \pm 4 \):
В точке \( x = -4 \):
\[ f'(-4) = 0 \], это возможно точка экстремума.
В точке \( x = 4 \):
\[ f'(4) = 0 \], тоже точка экстремума.
Шаг 8. Исследуем, что происходило с функцией:
- На интервале \( (-\infty, -4) \): производная положительна, функция возрастала.
- Между \(-4\) и \(4\): производная отрицательна, функция убывает.
- После \(4\): производная положительна, функция возрастает.
Значит, на этих точках (\( x = -4 \) и \( x = 4 \)) — экстремумы. По знакам производной можно определить, что в точке \( x = -4 \):
- Производная меняет знак с положительного на отрицательный — это максимум.
В точке \( x = 4 \):
- Производная меняет знак с отрицательного на положительный — это минимум.
Резюме:
- функция имеет максимум при \( x=-4 \),
- минимум при \( x=4 \).
Если нужно дать более подробное объяснение или построить график — скажите!
