Исследуйте с помощью производной функцию: 8/х+х/2

Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2} \] Цель — исследовать эту функцию с помощью производной, то есть найти её первую производную, определить её знак, а также точки экстремума и поведение. Шаг 1. Запишем функцию более явно: \[ f(x) = 8x^{-1} + \frac{x}{2} \] Шаг 2. Найдём производную \( f'(x) \): - Производная \( 8x^{-1} \): \[ \frac{d}{dx}(8x^{-1}) = 8 \cdot (-1) x^{-2} = -8 x^{-2} \] - Производная \( \frac{x}{2} \): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \] Объединяем: \[ f'(x) = -8 x^{-2} + \frac{1}{2} \] Это можно записать так: \[ f'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} \] Шаг 3. Анализируем знак производной \( f'(x) \): \[ f'(x) = -\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} \] Приведём к общему знаменателю: \[ f'(x) = \frac{-16}{2 x^2} + \frac{x^2}{2 x^2} = \frac{-16 + x^2}{2 x^2} \] Итак, \[ f'(x) = \frac{x^2 - 16}{2 x^2} \] Шаг 4. Исследуем критические точки, когда \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 16}{2 x^2} = 0 \] Это равенство выполнено, когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): \[ x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \] Обратите внимание: \( x \neq 0 \), так как функции включают деление на x. Шаг 5. Анализируем знак \( f'(x) \): - Для \( x \in (-\infty, -4) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0 \] Знак числителя — положительный, знаменатель \( 2 x^2 \) всегда положителен при \( x \neq 0 \). Значит, \( f'(x) > 0 \) на этом интервал. - Для \( x \in (-4, 4) \): Тестовая точка — \( x = 0 \), но в этой точке функция не определена (деление на 0). Поэтому спрашиваем о знаке в интервале между \(-4\) и \(4\), кроме нуля. Например, \( x = 1 \): \[ (1)^2 - 16 = 1 - 16 = -15 < 0 \] Знак отрицательный. Тогда, для \( x \in (-4, 0) \): например, \( x = -2 \): \[ 4 - 16 = -12 < 0 \] Значит, в интервале \((-4, 0)\) — \( f'(x) < 0 \) Для \( x \in (0, 4) \), например, \( x=2 \): \[ 4 - 16 = -12 < 0 \] Также \( f'(x) < 0 \) для \( x \in (0,4) \). - Для \( x \in (4, \infty) \): Тестовая точка, например, \( x=5 \): \[ 25 - 16 = 9 > 0 \] Значит, \( f'(x) > 0 \) на интервале \((4, \infty)\). Шаг 6. Итоговая картина: - \( f'(x) > 0 \) при \( x < -4 \) и при \( x > 4 \), - \( f'(x) < 0 \) при \( -4 < x < 4 \), кроме точек \( x=0 \), где функция не определена. Шаг 7. Значения \( x = \pm 4 \): - В точке \( x = -4 \): \[ f'(-4) = 0 \], это возможно точка экстремума. - В точке \( x = 4 \): \[ f'(4) = 0 \], тоже точка экстремума. Шаг 8. Исследуем, что происходило с функцией: - На интервале \( (-\infty, -4) \): производная положительна, функция возрастала. - Между \(-4\) и \(4\): производная отрицательна, функция убывает. - После \(4\): производная положительна, функция возрастает. Значит, на этих точках (\( x = -4 \) и \( x = 4 \)) — экстремумы. По знакам производной можно определить, что в точке \( x = -4 \): - Производная меняет знак с положительного на отрицательный — это максимум. В точке \( x = 4 \): - Производная меняет знак с отрицательного на положительный — это минимум. **Резюме:** - функция имеет максимум при \( x=-4 \), - минимум при \( x=4 \). --- Если нужно дать более подробное объяснение или построить график — скажите!