Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.
Дано:
- Масса первого груза, m₁ = 400 г = 0,4 кг
- Длина пружины с этим грузом, L₁ = 12 см = 0,12 м
- Масса второго груза, m₂ = 200 г = 0,2 кг
- Длина пружины с этим грузом, L₂ = 10 см = 0,10 м
- Жёсткость пружины, k = 100 Н/м
Нам нужно найти нерастянутую длину пружины, обозначим её как L₀.
Шаг 1: Определить силу, с которой груз действует на пружину
Когда груз висит на пружине и пружина растягивается, её растяжение обусловлено силой тяжести:
[ F = m \cdot g ]
где
- ( m ) — масса груза,
- ( g ) — ускорение свободного падения, ≈ 9,8 м/с².
Шаг 2: Найти растяжение пружины в каждом случае
Растяжение пружины ( \Delta L ) — разница между текущей длиной и нерастянутой длиной ( L_0 ):
[
\Delta L = L - L_0
]
Согласно закону Гука:
[
F = k \cdot \Delta L
]
Значит:
[
\Delta L = \frac{F}{k}
]
Шаг 3: Вычислить растяжения для каждого случая
Для первого груза:
[
F_1 = m_1 \cdot g = 0,4 \times 9,8 = 3,92, \text{Н}
]
Растяжение:
[
\Delta L_1 = \frac{F_1}{k} = \frac{3,92}{100} = 0,0392, \text{м} = 3,92, \textмм}
]
Для второго груза:
[
F_2 = m_2 \cdot g = 0,2 \times 9,8 = 1,96, \text{Н}
]
Растяжение:
[
\Delta L_2 = \frac{1,96}{100} = 0,0196, \text{м} = 1,96, \textмм}
]
Шаг 4: Записать уравнения для длины пружины
Для каждого случая:
[
L_1 = L_0 + \Delta L_1
]
[
L_2 = L_0 + \Delta L_2
]
Известны:
[
L_1 = 0,12, \text{м}
]
[
L_2 = 0,10, \text{м}
]
подставим:
[
0,12 = L_0 + 0,0392
]
[
0,10 = L_0 + 0,0196
]
Шаг 5: Решить систему уравнений
Из первого уравнения:
[
L_0 = 0,12 - 0,0392 = 0,0808, \text{м}
]
Из второго уравнения:
[
L_0 = 0,10 - 0,0196 = 0,0804, \text{м}
]
Значения очень близки, разница — из-за округлений. Окончательное нерастянутая длина пружины примерно равна:
[
\boxed{
L_0 \approx 0,0806, \text{м} \text{ или } 8,06, \text{см}
}
]
Итог:
Длина нерастянутой пружины равна примерно 8,06 сантиметров.
