Конечно! Давайте разберем задачу по поиску общего вида первообразных для функции ( f(x) = \frac{1}{x-5} ).
Цель: Понять, как найти первообразную, и привести решение с объяснениями.
Шаг 1: Что такое первообразная функции?
Первообразная (или интеграл) функции (f(x)) — это такая функция (F(x)), производная которой равна исходной функции, то есть:
[ F'(x) = f(x). ]
Для функции ( f(x) = \frac{1}{x-5} ) нужно найти такую (F(x)), у которой:
[ F'(x) = \frac{1}{x-5}. ]
Шаг 2: Переформулируем задачу
Обратите внимание, что
[ \frac{1}{x-5} ]
— это производная функции логарифма, поскольку:
[ \frac{d}{dx} [\ln|x-5|] = \frac{1}{x-5}. ]
Это ключевой момент, позволяющий легко найти первообразную.
Шаг 3: Запишем искомую первообразную
Исходя из этого:
[ F(x) = \ln|x-5| + C, ]
где (C) — произвольная постоянная.
Итог:
Общий вид первообразной функции (f(x) = \frac{1}{x-5}):
[
\boxed{
F(x) = \ln|x - 5| + C
}
]
где (C) — произвольная константа.
Если есть вопросы или нужно объяснить подробнее, обращайтесь!
