Моторная лодка проплыла 70 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 2 км/ч и провела в пути на 4 ч меньше. С какой скоростью плыла лодка от острова до…

Давайте решим задачу по частям, подробно объясняя каждый шаг.

Обозначения:

• \( v \) — скорость лодки от пристани до острова (искомуется).
• Тогда скорость на обратном пути — \( v + 2 \) км/ч.

Дано:

• Расстояние в обе стороны — 70 км.
• Время на обратном пути меньше на 4 часа, чем туда.

Пусть время путешествия от пристани до острова — \( t_1 \) часов.
Тогда время обратного пути — \( t_2 \) часов.

По условию:
\[ t_2 = t_1 - 4 \]

Из формулы поездки \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \):

1. Время на пути туда:
   \[ t_1 = \frac{70}{v} \]

2. Время на обратном пути:
   \[ t_2 = \frac{70}{v + 2} \]

По условию:
\[ \frac{70}{v + 2} = \frac{70}{v} - 4 \]

Теперь решим это уравнение.

---

Шаг 1: Запишем уравнение:

\[ \frac{70}{v + 2} = \frac{70}{v} - 4 \]

Шаг 2: Перенесем все в одну сторону:

\[ \frac{70}{v + 2} + 4 = \frac{70}{v} \]

Шаг 3: Обозначим:

\[ \frac{70}{v + 2} + 4 = \frac{70}{v} \]

**Шаг 4: Упростим левую часть, приведя к общему знаменателю или решая через умножение. Однако, удобнее избавиться от дробей, умножая обе части уравнения на выражение, содержащее \( v \) и \( v+2 \).

Для этого лучше сначала выразим уравнение без дробей:**

Перенесем все в одну сторону:

\[ \frac{70}{v + 2} - \frac{70}{v} = -4 \]

или

\[ \frac{70v - 70(v + 2)}{v(v + 2)} = -4 \]

Произведем выражение в числителе:

\[ 70v - 70v - 140 = -140 \]

Значит, уравнение выглядит так:

\[ \frac{-140}{v(v+2)} = -4 \]

Шаг 5: Упростим уравнение:

\[ \frac{-140}{v(v+2)} = -4 \]

Умножим обе части на \( v(v+2) \):

\[ -140 = -4 \times v(v+2) \]

\[ -140 = -4v(v+2) \]

Разделим обе части на -4:

\[ \frac{-140}{-4} = v(v+2) \]

\[ 35 = v^2 + 2v \]

---

Шаг 6: Полученное квадратное уравнение:

\[ v^2 + 2v - 35 = 0 \]

Решим его через дискриминант:

\[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-35) = 4 + 140 = 144 \]

Корни:

\[ v = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 \pm 12}{2} \]

1. Первое решение:

\[ v = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

2. Второе решение:

\[ v = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем:

\[ v = 5 \text{ км/ч} \]

---

Ответ:

Лодка плыла от острова до пристани со скоростью 5 км/ч.