Моторная лодка проплыла 70 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 2 км/ч и провела в пути на 4 ч меньше. С какой скоростью плыла лодка от острова до пристани? Лодка плыла от острова до пристани со скоростью км/ч

Давайте решим задачу по частям, подробно объясняя каждый шаг. Обозначения: - \( v \) — скорость лодки от пристани до острова (искомуется). - Тогда скорость на обратном пути — \( v + 2 \) км/ч. Дано: - Расстояние в обе стороны — 70 км. - Время на обратном пути меньше на 4 часа, чем туда. Пусть время путешествия от пристани до острова — \( t_1 \) часов. Тогда время обратного пути — \( t_2 \) часов. По условию: \[ t_2 = t_1 - 4 \] Из формулы поездки \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \): 1. Время на пути туда: \[ t_1 = \frac{70}{v} \] 2. Время на обратном пути: \[ t_2 = \frac{70}{v + 2} \] По условию: \[ \frac{70}{v + 2} = \frac{70}{v} - 4 \] Теперь решим это уравнение. --- **Шаг 1: Запишем уравнение:** \[ \frac{70}{v + 2} = \frac{70}{v} - 4 \] **Шаг 2: Перенесем все в одну сторону:** \[ \frac{70}{v + 2} + 4 = \frac{70}{v} \] **Шаг 3: Обозначим:** \[ \frac{70}{v + 2} + 4 = \frac{70}{v} \] **Шаг 4: Упростим левую часть, приведя к общему знаменателю или решая через умножение. Однако, удобнее избавиться от дробей, умножая обе части уравнения на выражение, содержащее \( v \) и \( v+2 \). Для этого лучше сначала выразим уравнение без дробей:** Перенесем все в одну сторону: \[ \frac{70}{v + 2} - \frac{70}{v} = -4 \] или \[ \frac{70v - 70(v + 2)}{v(v + 2)} = -4 \] Произведем выражение в числителе: \[ 70v - 70v - 140 = -140 \] Значит, уравнение выглядит так: \[ \frac{-140}{v(v+2)} = -4 \] **Шаг 5: Упростим уравнение:** \[ \frac{-140}{v(v+2)} = -4 \] Умножим обе части на \( v(v+2) \): \[ -140 = -4 \times v(v+2) \] \[ -140 = -4v(v+2) \] Разделим обе части на -4: \[ \frac{-140}{-4} = v(v+2) \] \[ 35 = v^2 + 2v \] --- **Шаг 6: Полученное квадратное уравнение:** \[ v^2 + 2v - 35 = 0 \] Решим его через дискриминант: \[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-35) = 4 + 140 = 144 \] Корни: \[ v = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 \pm 12}{2} \] 1. Первое решение: \[ v = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] 2. Второе решение: \[ v = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем: \[ v = 5 \text{ км/ч} \] --- ### **Ответ:** **Лодка плыла от острова до пристани со скоростью 5 км/ч.**