Вот правильно заполненные пропуски с объяснениями:
The Spanish were the first European people to explore Florida and Texas, to see the Grand Canyon, the Pacific Ocean, and the Pacific Coast. And everything they saw 29.__ (QUICK) became their property.
Ответ: quickly
Обоснование: Здесь нужно наречие, образованное от прилагательного "quick", чтобы указать, как быстро что-то произошло — "быстро".
In fact, Spain once claimed about two-thirds of the land that makes up the continental part of the US. Spain's 30.__ (EXPLORE) of the US started from Mexico, which the Spanish conquered in 1521.
Ответ: exploration
Обоснование: В данном случае требуется существительное, обозначающее процесс исследования — "exploration".
The cultures of the 31.__ (ORIGIN) native inhabitants and the Spanish conquerors in Mexico were assimilating for more than 300 years.
Ответ: original
Обоснование: Объект — культуры "origin" (происхождение), прилагательное для этого — "original".
In the 1800s, their Mexican grandchildren fought for and won their 32.__ (DEPENDENCE) from Spanish rule.
Ответ: independence
Обоснование: Существительное, обозначающее свободу от внешнего контроля — "independence".
After some time, Mexico asked for control over Spain's North American territory. But those claims were useless, and the borders were 33.__ (DEFINED).
Ответ: defined
Обоснование: Здесь нужно прилагательное в прошедшем причастии, чтобы описать, что границы были "определёнными".
In 1845, the Republic of Texas declared that Mexico wasn't its 34.__ (OWN) anymore and became a part of the US.
Ответ: own
Обоснование: Здесь нужен притяжательное прилагательное — "own" (свой).
Если нужно, я могу подготовить окончательный текст с заполненными пропусками.