Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё…

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.

Дано:

• Юра вышел из спортзала и шел к магазину.
• Оля вышла из магазина и шла в спортзал.
• В момент встречи:
  • Юре осталось идти 20 минут.
  • Оле осталось идти 5 минут.
• Все шли с постоянной скоростью.

Что необходимо найти:
Через сколько минут после выхода они встретились?

---

Шаг 1. Обозначения и введение переменных

Обозначим:

• \( t \) — время (в минутах), прошедшее с момента выхода Юры и Оли.
• Пусть:
  • \( v_Y \) — скорость Юры.
  • \( v_O \) — скорость Оли.
  • \( S \) — расстояние между спортзалом и магазином.

Так как они начали идти одновременно, их пути за время \( t \):

• Юра прошел: \( v_Y \times t \).
• Оля прошла: \( v_O \times t \).

---

Шаг 2. Использование данных о оставшемся времени

В момент встречи:

• Юра остается идти 20 минут, он уже прошел \( v_Y t \), а осталось пройти расстояние, равное \( v_Y \times 20 \).
• Аналогично для Оли: осталось идти 5 минут, она прошла \( v_O t \), осталось пройти \( v_O \times 5 \).

Поскольку в момент встречи:

• Юра прошел расстояние от спортзала до точки встречи: \( v_Y t \).
• Оля прошла расстояние от магазина до точки встречи: \( v_O t \).

---

Шаг 3. Построение уравнений для расстояний

Общий путь между спортзалом и магазином — это сумма пройденных путей Юрой и Олей:

\[ v_Y t + v_O t = S \]

Также, из данных о времени, оставшемся им идти:

• Юра остается идти 20 минут, значит, он прошел за время \( t-20 \) следующее расстояние:

  \[ v_Y (t - 20) \]

• Оля за время \( t-5 \):

  \[ v_O (t - 5) \]

Но поскольку у них одинаковые точки встречи и пути:

\[ v_Y (t - 20) = \text{расстояние от начальной точки Юры до точки встречи} \] \[ v_O (t - 5) = \text{расстояние от начальной точки Оли до точки встречи} \]

Однако, поскольку они начали идти одновременно и встречаются, то сумма пройденных путем равно расстоянию между начальными точками:

\[ v_Y (t - 20) + v_O (t - 5) = S \]

вместо этого, более точно, нужно заметить, что Юра прошел за \( t \), а ему осталось идти 20 минут — значит, он уже прошел за \( t - 20 \):

\[ \text{Длина пути Юры: } v_Y t \] \[ \text{Длина пути Оли: } v_O t \]

И еще, исходя из остатков пути:

\[ v_Y \times 20 = \text{осталось пройти Юре} \] \[ v_O \times 5 = \text{осталось пройти Оле} \]

Места их встречи — это точки, где сумма пройденных путей равна расстоянию между точками старта, то есть:

\[ v_Y t + v_O t = S \]

А также из оставшихся:

\[ v_Y \times 20 = \text{от Юры до встречи} \] \[ v_O \times 5 = \text{от Оли до встречи} \]

---

Шаг 4. Вывод уравнений для скорости

Поскольку они движутся навстречу друг другу и встретились, то сумма пройденных ими расстояний равна расстоянию между их стартовыми точками:

\[ v_Y t + v_O t = S \]

Из данных о времени оставшемся пути:

• Юра прошел за \( t \), и ему осталось пройти 20 минут, значит, он двигался всю дорогу со скоростью:

\[ v_Y = \frac{S_Y}{t_Y} \]

но конкретных данных о множителе \( S \) и скорости не дается. Поэтому лучше использовать отношение скоростей.

---

Шаг 5. Определение отношения скоростей

Из условий:

• После \( t \) минут они встретились.
• Юре осталось идти 20 минут, значит:

\[ v_Y = \frac{\text{расстояние, пройденное Юрой}}{t} \]

• Оля — 5 минут остаётся идти, значит:

\[ v_O = \frac{\text{расстояние, пройденное Олей}}{t} \]

Также, их пройденные расстояния связаны:

\[ v_Y \times t = \text{расстояние от спортзала до точки встречи} \] \[ v_O \times t = \text{расстояние от магазина до точки встречи} \]

---

Шаг 6. Итоговое решение

Пусть \( d_Y \) — пройденное Юрой расстояние до встречи, тогда:

\[ d_Y = v_Y t \]

И осталось Юре идти 20 минут, значит:

\[ v_Y \times 20 = \text{оставшийся путь Юре} \]

Общий путь, пройденный Юрой, и общая дистанция, между спортзалом и магазином, связаны:

\[ d_Y + (v_Y \times 20) = \text{общая длина } S \]

Аналогично для Оли:

\[ d_O = v_O t \] \[ v_O \times 5 = \text{осталось идти Оле} \] \[ d_O + v_O \times 5 = S \]

Но так как они шли навстречу друг другу, сумма пройденных ними путей равна расстоянию между начальными точками:

\[ d_Y + d_O = S \]

Подставляя значения:

\[ v_Y t + v_O t = S \]

и

\[ v_Y \times 20 + v_Y t = S \] \[ v_O \times 5 + v_O t = S \]

Значит, можно сказать:

\[ v_Y (t + 20) = S \] \[ v_O (t + 5) = S \]

Отсюда:

\[ v_Y = \frac{S}{t + 20} \] \[ v_O = \frac{S}{t + 5} \]

Теперь, потому что они встретились, их пройденные расстояния равно:

\[ v_Y t = v_O t \] или \[ \frac{S}{t + 20} t = \frac{S}{t + 5} t \]

Можно взять отношение скоростей:

\[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{t + 5}{t + 20} \]

---

Финальный шаг: найти \( t \)

Поскольку они идут навстречу друг другу, их скорости в соотношении связаны с расстоянием:

\[ d_Y = v_Y t = \frac{S}{t+20} t \]

\[ d_O = v_O t = \frac{S}{t+5} t \]

Рассмотрим сумму:

\[ d_Y + d_O = S \]

подставляем:

\[ \frac{S}{t+20} t + \frac{S}{t+5} t = S \]

Делим обе стороны на \( S \):

\[ \frac{t}{t+20} + \frac{t}{t+5} = 1 \]

Общее уравнение:

\[ \frac{t}{t+20} + \frac{t}{t+5} = 1 \]

---

Шаг 7. Решение уравнения

Найдем сумму:

\[ \frac{t(t+5) + t(t+20)}{(t+20)(t+5)} = 1 \]

Раскроем числитель:

\[ t(t+5) + t(t+20) = t^2 + 5t + t^2 + 20t = 2t^2 + 25t \]

Следовательно:

\[ \frac{2t^2 + 25t}{(t+20)(t+5)} = 1 \]

Раскроем знаменатель:

\[ (t+20)(t+5) = t^2 + 25t + 100 \]

Итак:

\[ 2t^2 + 25t = t^2 + 25t + 100 \]

Вычитая верхнее из обеих частей:

\[ 2t^2 + 25t - t^2 - 25t = 100 \]

Приведем подобные:

\[ t^2 = 100 \]

Значит:

\[ t = \pm 10 \]

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем:

\[ t = 10 \text{ минут} \]

---

Ответ:

Юра и Оля встретились через 10 минут после выхода.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то этап — скажите!