Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 20 минут, а Оле — ещё 5 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг. **Дано:** - Юра вышел из спортзала и шел к магазину. - Оля вышла из магазина и шла в спортзал. - В момент встречи: - Юре осталось идти 20 минут. - Оле осталось идти 5 минут. - Все шли с постоянной скоростью. **Что необходимо найти:** Через сколько минут после выхода они встретились? --- ### Шаг 1. Обозначения и введение переменных Обозначим: - \( t \) — время (в минутах), прошедшее с момента выхода Юры и Оли. - Пусть: - \( v_Y \) — скорость Юры. - \( v_O \) — скорость Оли. - \( S \) — расстояние между спортзалом и магазином. Так как они начали идти одновременно, их пути за время \( t \): - Юра прошел: \( v_Y \times t \). - Оля прошла: \( v_O \times t \). --- ### Шаг 2. Использование данных о оставшемся времени В момент встречи: - Юра остается идти 20 минут, он уже прошел \( v_Y t \), а осталось пройти расстояние, равное \( v_Y \times 20 \). - Аналогично для Оли: осталось идти 5 минут, она прошла \( v_O t \), осталось пройти \( v_O \times 5 \). Поскольку в момент встречи: - Юра прошел расстояние от спортзала до точки встречи: \( v_Y t \). - Оля прошла расстояние от магазина до точки встречи: \( v_O t \). --- ### Шаг 3. Построение уравнений для расстояний Общий путь между спортзалом и магазином — это сумма пройденных путей Юрой и Олей: \[ v_Y t + v_O t = S \] Также, из данных о времени, оставшемся им идти: - Юра остается идти 20 минут, значит, он прошел за время \( t-20 \) следующее расстояние: \[ v_Y (t - 20) \] - Оля за время \( t-5 \): \[ v_O (t - 5) \] Но поскольку у них одинаковые точки встречи и пути: \[ v_Y (t - 20) = \text{расстояние от начальной точки Юры до точки встречи} \] \[ v_O (t - 5) = \text{расстояние от начальной точки Оли до точки встречи} \] Однако, поскольку они начали идти одновременно и встречаются, то сумма пройденных путем равно расстоянию между начальными точками: \[ v_Y (t - 20) + v_O (t - 5) = S \] вместо этого, более точно, нужно заметить, что Юра прошел за \( t \), а ему осталось идти 20 минут — значит, он уже прошел за \( t - 20 \): \[ \text{Длина пути Юры: } v_Y t \] \[ \text{Длина пути Оли: } v_O t \] И еще, исходя из остатков пути: \[ v_Y \times 20 = \text{осталось пройти Юре} \] \[ v_O \times 5 = \text{осталось пройти Оле} \] Места их встречи — это точки, где сумма пройденных путей равна расстоянию между точками старта, то есть: \[ v_Y t + v_O t = S \] А также из оставшихся: \[ v_Y \times 20 = \text{от Юры до встречи} \] \[ v_O \times 5 = \text{от Оли до встречи} \] --- ### Шаг 4. Вывод уравнений для скорости Поскольку они движутся навстречу друг другу и встретились, то сумма пройденных ими расстояний равна расстоянию между их стартовыми точками: \[ v_Y t + v_O t = S \] Из данных о времени оставшемся пути: - Юра прошел за \( t \), и ему осталось пройти 20 минут, значит, он двигался всю дорогу со скоростью: \[ v_Y = \frac{S_Y}{t_Y} \] но конкретных данных о множителе \( S \) и скорости не дается. Поэтому лучше использовать отношение скоростей. --- ### Шаг 5. Определение отношения скоростей Из условий: - После \( t \) минут они встретились. - Юре осталось идти 20 минут, значит: \[ v_Y = \frac{\text{расстояние, пройденное Юрой}}{t} \] - Оля — 5 минут остаётся идти, значит: \[ v_O = \frac{\text{расстояние, пройденное Олей}}{t} \] Также, их пройденные расстояния связаны: \[ v_Y \times t = \text{расстояние от спортзала до точки встречи} \] \[ v_O \times t = \text{расстояние от магазина до точки встречи} \] --- ### Шаг 6. Итоговое решение Пусть \( d_Y \) — пройденное Юрой расстояние до встречи, тогда: \[ d_Y = v_Y t \] И осталось Юре идти 20 минут, значит: \[ v_Y \times 20 = \text{оставшийся путь Юре} \] Общий путь, пройденный Юрой, и общая дистанция, между спортзалом и магазином, связаны: \[ d_Y + (v_Y \times 20) = \text{общая длина } S \] Аналогично для Оли: \[ d_O = v_O t \] \[ v_O \times 5 = \text{осталось идти Оле} \] \[ d_O + v_O \times 5 = S \] Но так как они шли навстречу друг другу, сумма пройденных ними путей равна расстоянию между начальными точками: \[ d_Y + d_O = S \] Подставляя значения: \[ v_Y t + v_O t = S \] и \[ v_Y \times 20 + v_Y t = S \] \[ v_O \times 5 + v_O t = S \] Значит, можно сказать: \[ v_Y (t + 20) = S \] \[ v_O (t + 5) = S \] Отсюда: \[ v_Y = \frac{S}{t + 20} \] \[ v_O = \frac{S}{t + 5} \] Теперь, потому что они встретились, их пройденные расстояния равно: \[ v_Y t = v_O t \] или \[ \frac{S}{t + 20} t = \frac{S}{t + 5} t \] Можно взять отношение скоростей: \[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{t + 5}{t + 20} \] --- ### **Финальный шаг: найти \( t \)** Поскольку они идут навстречу друг другу, их скорости в соотношении связаны с расстоянием: \[ d_Y = v_Y t = \frac{S}{t+20} t \] \[ d_O = v_O t = \frac{S}{t+5} t \] Рассмотрим сумму: \[ d_Y + d_O = S \] подставляем: \[ \frac{S}{t+20} t + \frac{S}{t+5} t = S \] Делим обе стороны на \( S \): \[ \frac{t}{t+20} + \frac{t}{t+5} = 1 \] Общее уравнение: \[ \frac{t}{t+20} + \frac{t}{t+5} = 1 \] --- ### **Шаг 7. Решение уравнения** Найдем сумму: \[ \frac{t(t+5) + t(t+20)}{(t+20)(t+5)} = 1 \] Раскроем числитель: \[ t(t+5) + t(t+20) = t^2 + 5t + t^2 + 20t = 2t^2 + 25t \] Следовательно: \[ \frac{2t^2 + 25t}{(t+20)(t+5)} = 1 \] Раскроем знаменатель: \[ (t+20)(t+5) = t^2 + 25t + 100 \] Итак: \[ 2t^2 + 25t = t^2 + 25t + 100 \] Вычитая верхнее из обеих частей: \[ 2t^2 + 25t - t^2 - 25t = 100 \] Приведем подобные: \[ t^2 = 100 \] Значит: \[ t = \pm 10 \] Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем: \[ t = 10 \text{ минут} \] --- ### **Ответ:** **Юра и Оля встретились через 10 минут после выхода.** --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то этап — скажите!