на кординальной плоскости точки А(5;3) В(-3;-1) С(-3;4) D(2;-6) проведите луч АВ и прямую СD Найдите кординаты точки пересечения луча АВ и прямой СD
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Точки:
- \( A(5, 3) \)
- \( B(-3, -1) \)
- \( C(-3, 4) \)
- \( D(2, -6) \)
Задача:
- Построить луч \( \vec{AB} \)
- Построить прямую \( CD \)
- Найти точку пересечения луча \( \vec{AB} \) и прямой \( CD \)
1. Уравнение луча \( \vec{AB} \)
Направляющий вектор луча \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (-3 - 5, -1 - 3) = (-8, -4) \]
Параметрическое уравнение луча \( \vec{AB} \), начинаясь в точке \( A \): \[ \begin{cases} x = 5 - 8t \\ y = 3 - 4t \end{cases} \quad t \geq 0 \]
2. Уравнение прямой \( CD \)
Вектор \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = D - C = (2 - (-3), -6 - 4) = (5, -10) \]
Параметрическое уравнение прямой \( CD \), проходящей через \( C \): \[ \begin{cases} x = -3 + 5s \\ y = 4 - 10s \end{cases} \]
где \( s \in \mathbb{R} \).
3. Поиск точки пересечения
Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для \( x \) и \( y \):
\[ 5 - 8t = -3 + 5s \quad (1) \] \[ 3 - 4t = 4 - 10s \quad (2) \]
Из уравнения (1):
\[ 5 - 8t = -3 + 5s \Rightarrow 5 + 3 = 8t + 5s \Rightarrow 8 = 8t + 5s \]
Из уравнения (2):
\[ 3 - 4t = 4 - 10s \Rightarrow 3 - 4 = 4 - 10s - 4t \Rightarrow -1 = -10s - 4t \]
или:
\[ -10s - 4t = -1 \quad (3) \]
4. Решение системы уравнений
Запишем систему:
\[ \begin{cases} 8t + 5s = 8 \quad (a) \\ -10s - 4t = -1 \quad (b) \end{cases} \]
Из уравнения (a):
\[ 8t = 8 - 5s \Rightarrow t = \frac{8 - 5s}{8} \]
Подставим в уравнение (b):
\[ -10s - 4 \left( \frac{8 - 5s}{8} \right) = -1 \]
Посчитаем:
\[ -10s - \frac{4 \times (8 - 5s)}{8} = -1 \] \[ -10s - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \]
Общий знаменатель 8:
\[ -10s - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \]
Запишем всё вместе:
\[ \left( -10s \times \frac{8}{8} \right) - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \]
Это:
\[ \frac{-80s - (32 - 20s)}{8} = -1 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{-80s - 32 + 20s}{8} = -1 \] \[ \frac{(-80s + 20s) - 32}{8} = -1 \] \[ \frac{-60s - 32}{8} = -1 \]
Теперь умножим обе стороны на 8:
\[ -60s - 32 = -8 \]
Решаем относительно \( s \):
\[ -60s = -8 + 32 = 24 \] \[ s = -\frac{24}{60} = -\frac{2}{5} = -0.4 \]
Теперь найдём \( t \):
\[ t = \frac{8 - 5s}{8} = \frac{8 - 5 \times (-0.4)}{8} = \frac{8 + 2}{8} = \frac{10}{8} = 1.25 \]
5. Проверка условий
Так как луч \( \vec{AB} \) определяется параметром \( t \geq 0 \), то \( t=1.25 \geq 0 \), поэтому точка принадлежит лучу.
6. Находим координаты точки пересечения
Подставим \( s = -0.4 \) в уравнение прямой \( CD \):
\[ x = -3 + 5 \times (-0.4) = -3 - 2 = -5 \] \[ y = 4 - 10 \times (-0.4) = 4 + 4 = 8 \]
Итог:
Координаты точки пересечения луча \( \vec{AB} \) и прямой \( CD \):
\[ \boxed{ (-5, 8) } \]
Эта точка принадлежит как лучу, так и прямой, а условия \( t \geq 0 \) подтверждают, что точка лежит на луче, исходящем из \( A \).
