На кординальной плоскости точки А(5;3) В(-3;-1) С(-3;4) D(2;-6) проведите луч АВ и прямую СD Найдите кординаты точки пересечения луча АВ и прямой СD

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Точки: - \( A(5, 3) \) - \( B(-3, -1) \) - \( C(-3, 4) \) - \( D(2, -6) \) **Задача:** - Построить луч \( \vec{AB} \) - Построить прямую \( CD \) - Найти точку пересечения луча \( \vec{AB} \) и прямой \( CD \) --- ### 1. Уравнение луча \( \vec{AB} \) **Направляющий вектор луча \( \vec{AB} \):** \[ \vec{AB} = B - A = (-3 - 5, -1 - 3) = (-8, -4) \] **Параметрическое уравнение луча \( \vec{AB} \), начинаясь в точке \( A \):** \[ \begin{cases} x = 5 - 8t \\ y = 3 - 4t \end{cases} \quad t \geq 0 \] --- ### 2. Уравнение прямой \( CD \) **Вектор \( \vec{CD} \):** \[ \vec{CD} = D - C = (2 - (-3), -6 - 4) = (5, -10) \] **Параметрическое уравнение прямой \( CD \), проходящей через \( C \):** \[ \begin{cases} x = -3 + 5s \\ y = 4 - 10s \end{cases} \] где \( s \in \mathbb{R} \). --- ### 3. Поиск точки пересечения Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для \( x \) и \( y \): \[ 5 - 8t = -3 + 5s \quad (1) \] \[ 3 - 4t = 4 - 10s \quad (2) \] Из уравнения (1): \[ 5 - 8t = -3 + 5s \Rightarrow 5 + 3 = 8t + 5s \Rightarrow 8 = 8t + 5s \] Из уравнения (2): \[ 3 - 4t = 4 - 10s \Rightarrow 3 - 4 = 4 - 10s - 4t \Rightarrow -1 = -10s - 4t \] или: \[ -10s - 4t = -1 \quad (3) \] --- ### 4. Решение системы уравнений Запишем систему: \[ \begin{cases} 8t + 5s = 8 \quad (a) \\ -10s - 4t = -1 \quad (b) \end{cases} \] Из уравнения (a): \[ 8t = 8 - 5s \Rightarrow t = \frac{8 - 5s}{8} \] Подставим в уравнение (b): \[ -10s - 4 \left( \frac{8 - 5s}{8} \right) = -1 \] Посчитаем: \[ -10s - \frac{4 \times (8 - 5s)}{8} = -1 \] \[ -10s - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \] Общий знаменатель 8: \[ -10s - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \] Запишем всё вместе: \[ \left( -10s \times \frac{8}{8} \right) - \frac{32 - 20s}{8} = -1 \] Это: \[ \frac{-80s - (32 - 20s)}{8} = -1 \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{-80s - 32 + 20s}{8} = -1 \] \[ \frac{(-80s + 20s) - 32}{8} = -1 \] \[ \frac{-60s - 32}{8} = -1 \] Теперь умножим обе стороны на 8: \[ -60s - 32 = -8 \] Решаем относительно \( s \): \[ -60s = -8 + 32 = 24 \] \[ s = -\frac{24}{60} = -\frac{2}{5} = -0.4 \] Теперь найдём \( t \): \[ t = \frac{8 - 5s}{8} = \frac{8 - 5 \times (-0.4)}{8} = \frac{8 + 2}{8} = \frac{10}{8} = 1.25 \] --- ### 5. Проверка условий Так как луч \( \vec{AB} \) определяется параметром \( t \geq 0 \), то \( t=1.25 \geq 0 \), поэтому точка принадлежит лучу. --- ### 6. Находим координаты точки пересечения Подставим \( s = -0.4 \) в уравнение прямой \( CD \): \[ x = -3 + 5 \times (-0.4) = -3 - 2 = -5 \] \[ y = 4 - 10 \times (-0.4) = 4 + 4 = 8 \] --- ## Итог: **Координаты точки пересечения луча \( \vec{AB} \) и прямой \( CD \):** \[ \boxed{ (-5, 8) } \] Эта точка принадлежит как лучу, так и прямой, а условия \( t \geq 0 \) подтверждают, что точка лежит на луче, исходящем из \( A \).