Найдите точку максимума функции y = 4 l n ( x + 1 ) 5 − 25 x + 3 y=4ln(x+1) 5 −25x+3

Давайте решим задачу — найдём точку максимума функции \( y = 4 \ln (x+1)^5 - 25x + 3 \).

Шаг 1: Упростим выражение функции, чтобы было удобно находить её экстремумы.

Используем свойство логарифмов: \( \ln a^b = b \ln a \), поэтому:

\[ y = 4 \cdot 5 \ln (x+1) - 25x + 3 = 20 \ln (x+1) - 25x + 3 \]

Теперь функция выглядит так:

\[ y = 20 \ln (x+1) - 25x + 3 \]

Шаг 2: Найдём первую производную функции \( y' \).

Производная \( y \):

• Производная \( 20 \ln (x+1) \):

\[ 20 \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{20}{x+1} \]

• Производная \( -25x \):

\[ -25 \]

• Производная константы \( +3 \):

\[ 0 \]

Итак, первая производная:

\[ y' = \frac{20}{x+1} - 25 \]

Шаг 3: Найдём критические точки — решим уравнение \( y' = 0 \):

\[ \frac{20}{x+1} - 25 = 0 \]

\[ \frac{20}{x+1} = 25 \]

Умножим обе части на \( x+1 \):

\[ 20 = 25(x+1) \]

Решим относительно \( x \):

\[ 20 = 25x + 25 \]

\[ 25x = 20 - 25 = -5 \]

\[ x = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5} \]

Критическая точка: \( x = -\frac{1}{5} \).

Шаг 4: Проверим характер критической точки — максимум или минимум, найдём вторую производную \( y'' \).

Вторая производная:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{20}{x+1} \right ) = 20 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x+1} \right) \]

Производная \( \frac{1}{x+1} \):

\[ - \frac{1}{(x+1)^2} \]

Следовательно:

\[ y'' = 20 \cdot \left( - \frac{1}{(x+1)^2} \right) = - \frac{20}{(x+1)^2} \]

Теперь подставим \( x = -\frac{1}{5} \):

\[ x + 1 = -\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5} \]

а это не равно нулю, что хорошо.

Вторая производная в точке критического значения равна:

\[ y'' = - \frac{20}{( \frac{4}{5})^2} = - \frac{20}{ \frac{16}{25} } = -20 \times \frac{25}{16} = - \frac{500}{16} = -31.25 \]

Так как \( y'' < 0 \), то в этой точке функция достигает локального максимума.

Шаг 5: Итог — точка максимума:

\[ x = -\frac{1}{5} \]

Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = -\frac{1}{5} \) в исходное выражение:

\[ y = 20 \ln \left( - \frac{1}{5} + 1 \right) - 25 \left( - \frac{1}{5} \right) + 3 \]

\[ x + 1 = \frac{4}{5} \]

\[ \ln \left( \frac{4}{5} \right) \]

\[ y = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 5 + 3 = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 8 \]

Это и есть максимум функции.

Ответ:

Точка максимума функции — при \( x = -\frac{1}{5} \), а значение функции в этой точке равно:

\[ y = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 8 \]