Найдите точку максимума функции y = 4 l n ( x + 1 ) 5 − 25 x + 3 y=4ln(x+1) 5 −25x+3

Давайте решим задачу — найдём точку максимума функции \( y = 4 \ln (x+1)^5 - 25x + 3 \). Шаг 1: Упростим выражение функции, чтобы было удобно находить её экстремумы. Используем свойство логарифмов: \( \ln a^b = b \ln a \), поэтому: \[ y = 4 \cdot 5 \ln (x+1) - 25x + 3 = 20 \ln (x+1) - 25x + 3 \] Теперь функция выглядит так: \[ y = 20 \ln (x+1) - 25x + 3 \] Шаг 2: Найдём первую производную функции \( y' \). Производная \( y \): - Производная \( 20 \ln (x+1) \): \[ 20 \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{20}{x+1} \] - Производная \( -25x \): \[ -25 \] - Производная константы \( +3 \): \[ 0 \] Итак, первая производная: \[ y' = \frac{20}{x+1} - 25 \] Шаг 3: Найдём критические точки — решим уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{20}{x+1} - 25 = 0 \] \[ \frac{20}{x+1} = 25 \] Умножим обе части на \( x+1 \): \[ 20 = 25(x+1) \] Решим относительно \( x \): \[ 20 = 25x + 25 \] \[ 25x = 20 - 25 = -5 \] \[ x = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5} \] Критическая точка: \( x = -\frac{1}{5} \). Шаг 4: Проверим характер критической точки — максимум или минимум, найдём вторую производную \( y'' \). Вторая производная: \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{20}{x+1} \right ) = 20 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x+1} \right) \] Производная \( \frac{1}{x+1} \): \[ - \frac{1}{(x+1)^2} \] Следовательно: \[ y'' = 20 \cdot \left( - \frac{1}{(x+1)^2} \right) = - \frac{20}{(x+1)^2} \] Теперь подставим \( x = -\frac{1}{5} \): \[ x + 1 = -\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5} \] а это не равно нулю, что хорошо. Вторая производная в точке критического значения равна: \[ y'' = - \frac{20}{( \frac{4}{5})^2} = - \frac{20}{ \frac{16}{25} } = -20 \times \frac{25}{16} = - \frac{500}{16} = -31.25 \] Так как \( y'' < 0 \), то в этой точке функция достигает локального максимума. Шаг 5: Итог — точка максимума: \[ x = -\frac{1}{5} \] Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = -\frac{1}{5} \) в исходное выражение: \[ y = 20 \ln \left( - \frac{1}{5} + 1 \right) - 25 \left( - \frac{1}{5} \right) + 3 \] \[ x + 1 = \frac{4}{5} \] \[ \ln \left( \frac{4}{5} \right) \] \[ y = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 5 + 3 = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 8 \] Это и есть максимум функции. **Ответ:** Точка максимума функции — при \( x = -\frac{1}{5} \), а значение функции в этой точке равно: \[ y = 20 \ln \left( \frac{4}{5} \right) + 8 \]