В прямоугольном треугольнике MNK MN=NK а гипотенуза MK равна 20см. Найдите длину высоты проведённой к гипотенузе ответ дайте в сантиметрах.

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - В прямоугольном треугольнике \( MNK \), где \( MN = NK \) - Гипотенуза \( MK = 20\,\text{см} \) - Нужно найти высоту, опущенную из вершины \( N \) на гипотенузу \( MK \). --- ### Шаг 1: Обозначение и построение Обозначим: - \( MN = NK = x \) (по условию — равны). - \( MK = 20\,\text{см} \) — гипотенуза. Поскольку \( MNK \) — прямоугольный треугольник, и \( MN = NK \), то по условию: - В треугольнике \( MNK \): - \( Наличие прямого угла (пусть он в точке \( N \)) - \( MN \perp NK \) - \( MN \) и \( NK \) катеты, равные \( x \). --- ### Шаг 2: Расстановка с помощью теоремы Пифагора Пусть гипотенуза — \( MK = 20 \). В треугольнике \( MNK \), где \( MN = NK = x \): По теореме Пифагора: \[ x^2 + x^2 = (20)^2 \] \[ 2x^2 = 400 \] \[ x^2 = 200 \] \[ x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] Это — длины катетов. --- ### Шаг 3: Найти площадь треугольника \( MNK \) Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \] \[ S = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} \times (10\sqrt{2}) \times (10\sqrt{2}) \] \[ S = \frac{1}{2} \times 100 \times 2 = \frac{1}{2} \times 200 = 100\, \text{см}^2 \] --- ### Шаг 4: Найти высоту \( h \), опущенную к гипотенузе \( MK \) Высота из вершины \( N \), опущенная на гипотенузу \( MK \), делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим: - \( H \) — точка опущения высоты на \( MK \). - \( MH = a \), \( KH = b \). Из свойства прямоугольного треугольника и высоты к гипотенузе: \[ a = \frac{MN^2}{MK} \quad \text{и} \quad b = \frac{NK^2}{MK} \] Подставим значения: \[ a = \frac{(10\sqrt{2})^2}{20} = \frac{200}{20} = 10 \] \[ b = \frac{(10\sqrt{2})^2}{20} = \frac{200}{20} = 10 \] Гипотенуза делится пополам, и \( a = b = 10\,\text{см} \). --- ### Шаг 5: Находим высоту \( h \) В прямом треугольнике \( MNK \), высота \( h \) из вершины \( N \) на гипотенузу \( MK \) связана с площадью: \[ S = \frac{1}{2} \times MK \times h \] \[ 100 = \frac{1}{2} \times 20 \times h \] \[ 100 = 10 \times h \] \[ h = \frac{100}{10} = 10\, \text{см} \] --- ## Итог: **Длина высоты, проведённой к гипотенузе, равна \(\boxed{10\,\text{см}}\).**