15⁵√²⁸√а-7⁷√²⁰√а/2³⁵√⁴√а
Давайте разберём вашу задачу шаг за шагом и подробно объясним решение.
Задача:
\[ 15^5 \sqrt{2^{8} \sqrt{a}} - 7^7 \sqrt{2^{0} \sqrt{a}} \div 2^{35} \sqrt{4 \sqrt{a}} \]
Поскольку в условии присутствуют корни и степени, лучше упростить выражение, выделяя основания и степени.
Шаг 1: Понимание каждого части выражения
Обратите внимание:
- \( 15^5 \)
- \( \sqrt{2^{8} \sqrt{a}} \)
- \( 7^7 \)
- \( \sqrt{2^{0} \sqrt{a}} \)
- Деление на \( 2^{35} \sqrt{4 \sqrt{a}} \)
Шаг 2: Упростим каждую корневую часть
2.1 \( \sqrt{2^{8} \sqrt{a}} \)
Здесь есть произведение внутри корня: \( 2^{8} \times \sqrt{a} \)
- \( \sqrt{a} = a^{1/2} \).
Теперь, чтобы упростить подкоренное выражение, запишем \( 2^{8} \times a^{1/2} \):
Корень (2-го порядка) от произведения: \(\sqrt{2^{8} a^{1/2}}\)
Внутри корня сумма степеней в виде произведения:
\[ \sqrt{2^{8} \times a^{1/2}} = \sqrt{2^{8}} \times \sqrt{a^{1/2}} = 2^{8/2} \times a^{(1/2)/2} = 2^{4} \times a^{1/4} \]
То есть:
\[ \sqrt{2^{8} \sqrt{a}} = 2^{4} \times a^{1/4} \]
2.2 \( \sqrt{2^{0} \sqrt{a}} \)
- \( 2^{0} = 1 \), так что:
\[ \sqrt{1 \times \sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{(1/2) \times (1/2)} = a^{1/4} \]
2.3 \( \sqrt{4 \sqrt{a}} \)
- \( \sqrt{a} = a^{1/2} \)
- \( 4 = 2^{2} \)
Тогда внутри корня:
\[ 4 \sqrt{a} = 2^{2} \times a^{1/2} \]
Корень из этого:
\[ \sqrt{2^{2} \times a^{1/2}} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{a^{1/2}} = 2^{2/2} \times a^{1/4} = 2^{1} \times a^{1/4} = 2 a^{1/4} \]
Шаг 3: Перепишем исходное выражение с результатами
Теперь имеем:
\[ 15^{5} \times 2^{4} a^{1/4} - 7^{7} a^{1/4} \div 2^{35} \times 2 a^{1/4} \]
Обозначим, чтобы было легче:
\[ \text{Первый слагаемый}: \quad 15^{5} \times 2^{4} a^{1/4} \]
\[ \text{Второй член (вычитаемое и делимое)}: \quad \left(7^{7} a^{1/4}\right) \div \left(2^{35} \times 2 a^{1/4}\right) \]
Шаг 4: Упростим деление второго члена
Обратим внимание:
\[ \frac{7^{7} a^{1/4}}{2^{35} \times 2 a^{1/4}} \]
- \( a^{1/4} \) в числителе и знаменателе сокращаются:
\[ \frac{7^{7}}{2^{35} \times 2} \]
- \( 2^{35} \times 2 = 2^{35} \times 2^{1} = 2^{36} \)
Следовательно:
\[ \frac{7^{7}}{2^{36}} \]
Итоговая форма:
\[ 15^{5} \times 2^{4} a^{1/4} - \frac{7^{7}}{2^{36}} \]
Итоговое решение: ответ в упрощённой форме
\[ \boxed{ 15^{5} \times 2^{4} a^{1/4} - \frac{7^{7}}{2^{36}} } \]
или в виде:
\[ 15^{5} \times 16 \times a^{1/4} - \frac{7^{7}}{2^{36}} \]
Если нужно, я могу помочь дальше упростить или вычислить численные значения для конкретного \( a \).
