Решите уравнение 6sin²x+5conx-2=0

Рассмотрим уравнение: \[ 6 \sin^2 x + 5 \cos x - 2 = 0 \] Поскольку в уравнении есть и \(\sin^2 x\), и \(\cos x\), лучше выразить все через одну тригонометрическую функцию. Для этого используем известное тождество: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] Подставляем в исходное уравнение: \[ 6 (1 - \cos^2 x) + 5 \cos x - 2 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 6 - 6 \cos^2 x + 5 \cos x - 2 = 0 \] Объединим подобные члены: \[ (6 - 2) - 6 \cos^2 x + 5 \cos x = 0 \] \[ 4 - 6 \cos^2 x + 5 \cos x = 0 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ -6 \cos^2 x + 5 \cos x + 4 = 0 \] Чтобы упростить, умножим всё уравнение на -1: \[ 6 \cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0 \] Теперь введем новую переменную: \[ t = \cos x \] Получим квадратное уравнение: \[ 6t^2 - 5t - 4 = 0 \] Решим это уравнение методом дискриминанта: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \] Дискриминант положителен, значит есть два корня: \[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 11}{12} \] Находим два решения: 1. \[ t_1 = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \] 2. \[ t_2 = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \] Теперь проверим возможные значения: - \(\cos x = t\). Значение \(\cos x\) находится в диапазоне \([-1,1]\). Первый корень: \(\frac{4}{3} \approx 1.33\), что вне диапазона \([-1,1]\). Следовательно, он не подходит, так как \(\cos x\) не может быть больше 1. Второй корень: \(-\frac{1}{2}\) — допустимо. Значит, решением является: \[ \cos x = -\frac{1}{2} \] Теперь найдем \(x\). Величина \(\cos x = -\frac{1}{2}\) характерна для углов: \[ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \pi n \] Значение \(\arccos(-\frac{1}{2})\) равно \( \frac{2 \pi}{3} \) (или 120°) и \( \frac{4 \pi}{3} \) (или 240°), в зависимости от квадранта. **Итак, решения:** \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] или, более конкретно, \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = -\frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] **Ответ:** \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение, обращайтесь!