решите уравнение 6sin²x+5conx-2=0

Рассмотрим уравнение:
\[ 6 \sin^2 x + 5 \cos x - 2 = 0 \]

Поскольку в уравнении есть и \(\sin^2 x\), и \(\cos x\), лучше выразить все через одну тригонометрическую функцию. Для этого используем известное тождество:
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]

Подставляем в исходное уравнение:
\[ 6 (1 - \cos^2 x) + 5 \cos x - 2 = 0 \]

Раскроем скобки:
\[ 6 - 6 \cos^2 x + 5 \cos x - 2 = 0 \]

Объединим подобные члены:
\[ (6 - 2) - 6 \cos^2 x + 5 \cos x = 0 \]
\[ 4 - 6 \cos^2 x + 5 \cos x = 0 \]

Перенесем всё в одну сторону:
\[ -6 \cos^2 x + 5 \cos x + 4 = 0 \]

Чтобы упростить, умножим всё уравнение на -1:
\[ 6 \cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0 \]

Теперь введем новую переменную:
\[ t = \cos x \]

Получим квадратное уравнение:
\[ 6t^2 - 5t - 4 = 0 \]

Решим это уравнение методом дискриминанта:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \]

Дискриминант положителен, значит есть два корня:
\[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 11}{12} \]

Находим два решения:

1. \[ t_1 = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \]
2. \[ t_2 = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Теперь проверим возможные значения:

• \(\cos x = t\). Значение \(\cos x\) находится в диапазоне \([-1,1]\).

Первый корень: \(\frac{4}{3} \approx 1.33\), что вне диапазона \([-1,1]\).
Следовательно, он не подходит, так как \(\cos x\) не может быть больше 1.

Второй корень: \(-\frac{1}{2}\) — допустимо.

Значит, решением является:
\[ \cos x = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем \(x\). Величина \(\cos x = -\frac{1}{2}\) характерна для углов:
\[ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \pi n \]

Значение \(\arccos(-\frac{1}{2})\) равно \( \frac{2 \pi}{3} \) (или 120°) и \( \frac{4 \pi}{3} \) (или 240°), в зависимости от квадранта.

Итак, решения:

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

или, более конкретно,
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad x = -\frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение, обращайтесь!