Давайте решим эту задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Расстояние против течения и в обратную сторону одинаковое — 77 км.
- Время на обратный путь на 1 час меньше, чем на путь против течения.
- Скорость течения ( v_{реки} = 4 \text{ км/ч} ).
- Необходимо найти скорость лодки в неподвижной воде — ( v_{лодки} ).
Обозначим:
- ( v_{лодки} = v ) (искомая скорость лодки в неподвижной воде).
Шаг 1: Записываем скорости в двух направлениях:
- По течению (вниз по реке): скорость лодки ( v + 4 ) км/ч.
- Против течения (вверх по реке): скорость ( v - 4 ) км/ч.
Шаг 2: Записываем время прохождения пути в обоих случаях:
- Время против течения:
[
t_1 = \frac{77}{v - 4}
]
- Время по течению:
[
t_2 = \frac{77}{v + 4}
]
Шаг 3: Условие задачи:
- Время на обратный путь (по течению) на 1 час меньше, чем на против течения:
[
t_2 = t_1 - 1
]
Подставляем выражения для времени:
[
\frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 1
]
Шаг 4: Решаем уравнение
Переносим и приводим к общему знаменателю:
[
\frac{77}{v + 4} + 1 = \frac{77}{v - 4}
]
Запишем:
[
\frac{77}{v + 4} + 1 = \frac{77}{v - 4}
]
Объединим обе части уравнения:
[
\frac{77}{v + 4} + 1 = \frac{77}{v - 4}
]
Переходим к общему знаменателю:
[
\frac{77}{v + 4} + \frac{v + 4}{v + 4} = \frac{77}{v - 4}
]
[
\frac{77 + v + 4}{v + 4} = \frac{77}{v - 4}
]
Объединяем числитель:
[
\frac{v + 81}{v + 4} = \frac{77}{v - 4}
]
Теперь крест-накрест:
[
(v + 81)(v - 4) = 77 (v + 4)
]
Шаг 5: Раскрой скобки
Левая часть:
[
(v + 81)(v - 4) = v \cdot v - 4v + 81v - 324 = v^2 + 77v - 324
]
Правая часть:
[
77(v + 4) = 77v + 308
]
Уравнение:
[
v^2 + 77v - 324 = 77v + 308
]
Вычитаем (77v) из обеих частей:
[
v^2 - 324 = 308
]
Добавляем 324 к обеим сторонам:
[
v^2 = 308 + 324 = 632
]
Шаг 6: Находим ( v ):
[
v = \pm \sqrt{632}
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, рассматриваем только положительный корень:
[
v \approx \sqrt{632} \approx 25,14 \text{ км/ч}
]
Итог:
Скорость лодки в неподвижной воде: примерно 25,14 км/ч.
Если нужно более точно, можно оставить в виде:
[
v = \sqrt{632} \text{ км/ч}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение — я готов помочь!
