Если в трехзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будетна 432 больше первоначальногою найдите наименьшее первоначальное число

Давайте решим задачу пошагово: **Задача:** Если в трехзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 432 больше первоначального. Нужно найти минимальное первоначальное число. --- **Обозначения:** Обозначим исходное трехзначное число как \(\abc\) (где \(a\), \(b\), \(c\) — его цифры). Тогда: - \(a\) — сотни (\(1 \leq a \leq 9\)) - \(b\) — десятки (\(0 \leq b \leq 9\)) - \(c\) — единицы (\(0 \leq c \leq 9\)) **Запишем исходное число в виде:** \[ \100a + 10b + c \] --- **Описание перестановки:** Переставляем последнюю цифру \(c\) в начало числа: Полученное число — это \(\cab\): \[ \100c + 10a + b \] Согласно условию: \[ \text{Новое число} - \text{Первоначальное} = 432 \] То есть: \[ (100c + 10a + b) - (100a + 10b + c) = 432 \] --- **Решим это уравнение:** \[ 100c + 10a + b - 100a - 10b - c = 432 \] Объединим подобные члены: \[ (100c - c) + (10a - 100a) + (b - 10b) = 432 \] \[ 99c - 90a - 9b = 432 \] Можно вынести 9 за скобки: \[ 9(11c - 10a - b) = 432 \] Делим обе части на 9: \[ 11c - 10a - b = 48 \] --- **Имеем уравнение:** \[ 11c - 10a - b = 48 \] Задача: найти цифры \(a, b, c\), при этом \(a \neq 0\), так как число трехзначное, и цифры — это от 0 до 9. --- **Ищем минимальное исходное число:** Выбираем минимальное \(a\), затем стараемся выбрать такие \(b\) и \(c\), чтобы число было минимальным. --- **Перебор вариантов:** Цифра \(a \geq 1\), \(c \geq 0\), \(b \geq 0\), и все не выше 9. Пусть \(a\) минимально, то есть \(a=1\), и проверим значения \(c\), чтобы получилась целая \(b\): \[ b = 11c - 10a - 48 \] Подставим \(a=1\): \[ b = 11c - 10 - 48 = 11c - 58 \] Теперь ищем \(c\), чтобы \(b\) было в диапазоне от 0 до 9: \[ 0 \leq 11c - 58 \leq 9 \] Рассмотрим первые неравенства: 1. \(11c - 58 \geq 0\) — чтобы \(b \geq 0\): \[ 11c \geq 58 \Rightarrow c \geq \frac{58}{11} \approx 5.27 \] Так как \(c\) — целое, то следующая целая цифра — \(c \geq 6\). 2. \(11c - 58 \leq 9\): \[ 11c \leq 67 \Rightarrow c \leq \frac{67}{11} \approx 6.09 \] Следовательно, \(c \leq 6\). Объединяя: \[ c \geq 6 \quad \text{и} \quad c \leq 6 \] Значит, \(c=6\). Теперь найдем \(b\): \[ b = 11 \times 6 - 58 = 66 - 58 = 8 \] Больше подходящих значений не существует, так как \(b=8\) в диапазоне 0-9. --- **Теперь проверим исходное число:** \[ a=1, \quad b=8, \quad c=6 \] Исходное число: \[ 100 \times 1 + 10 \times 8 + 6 = 100 + 80 + 6 = 186 \] Перестановка: переносим последнюю цифру (6) в начало: \[ \text{Новое число} = 600 + 10 \times 1 + 8 = 600 + 10 + 8 = 618 \] Проверка разницы: \[ 618 - 186 = 432 \] Условие выполнено. --- **Проверка, что это минимальное число:** - \(a=1\) — минимально возможное для трехзначного числа. - При \(a=1\), мы нашли подходящее \(c=6\) и \(b=8\), что дает минимальное исходное число. Если бы мы попробовали \(a=2\) или больше, исходное число увеличится, что не подходит для поиска минимального. **Ответ:** **Минимальное исходное число — \(\boxed{186}\).**