найти производную y=ctg⁷.x•arccos2x³
Рассмотрим данную задачу: найти производную функции:
\[ y = \cot^7 x \cdot \arccos 2x^3 \]
Для начала распишем её более подробно:
- Первая часть: \(\cot^7 x\) — это \(\cot x\) в степени 7
- Вторая часть: \(\arccos 2x^3\)
Наше задание — найти \(\frac{dy}{dx}\).
Обозначим:
\[ u = \cot^7 x \] \[ v = \arccos 2x^3 \]
Тогда
\[ y = u \cdot v \]
Для нахождения производной используйправу произведения:
\[ y' = u' v + u v' \]
Теперь найдем \(u'\) и \(v'\) по отдельности.
1. Производная \(u = \cot^7 x\)
Применим цепное правило:
\[ u = (\cot x)^7 \] \[ u' = 7 (\cot x)^6 \cdot \frac{d}{dx} (\cot x) \]
Известно, что:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = - \csc^2 x \]
Следовательно,
\[ u' = 7 (\cot x)^6 \cdot (- \csc^2 x) = -7 (\cot x)^6 \csc^2 x \]
2. Производная \(v = \arccos 2x^3\)
Обратная косинус — функция сложная, применим цепное правило:
\[ v' = \frac{d}{dx} \arccos z \big|_{z=2x^3} \]
Известна формула:
\[ \frac{d}{dz} \arccos z = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \]
Тогда:
\[ v' = - \frac{1}{\sqrt{1 - (2x^3)^2}} \cdot \frac{d}{dx} (2x^3) \]
Вычислим производную внутренней функции:
\[ \frac{d}{dx} (2x^3) = 6x^2 \]
Подставим:
\[ v' = - \frac{6x^2}{\sqrt{1 - 4x^6}} \]
Итоговая производная:
\[ y' = u' v + u v' \]
Подставим найденные выражения:
\[ y' = \left(-7 (\cot x)^6 \csc^2 x \right) \cdot \arccos 2x^3 + (\cot x)^7 \cdot \left( - \frac{6x^2}{\sqrt{1 - 4x^6}} \right) \]
Или упростим:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = -7 (\cot x)^6 \csc^2 x \cdot \arccos 2x^3 - \frac{6x^2 (\cot x)^7}{\sqrt{1 - 4x^6}} } \]
Итог:
Это — искомая производная функции. Если нужно, я могу подробно объяснить каждое из полученных выражений или помочь упростить итоговый ответ.
