Найти производную y=ctg⁷.x•arccos2x³

Рассмотрим данную задачу: найти производную функции: \[ y = \cot^7 x \cdot \arccos 2x^3 \] Для начала распишем её более подробно: - Первая часть: \(\cot^7 x\) — это \(\cot x\) в степени 7 - Вторая часть: \(\arccos 2x^3\) Наше задание — найти \(\frac{dy}{dx}\). Обозначим: \[ u = \cot^7 x \] \[ v = \arccos 2x^3 \] Тогда \[ y = u \cdot v \] Для нахождения производной используйправу произведения: \[ y' = u' v + u v' \] Теперь найдем \(u'\) и \(v'\) по отдельности. --- ### 1. Производная \(u = \cot^7 x\) Применим цепное правило: \[ u = (\cot x)^7 \] \[ u' = 7 (\cot x)^6 \cdot \frac{d}{dx} (\cot x) \] Известно, что: \[ \frac{d}{dx} \cot x = - \csc^2 x \] Следовательно, \[ u' = 7 (\cot x)^6 \cdot (- \csc^2 x) = -7 (\cot x)^6 \csc^2 x \] --- ### 2. Производная \(v = \arccos 2x^3\) Обратная косинус — функция сложная, применим цепное правило: \[ v' = \frac{d}{dx} \arccos z \big|_{z=2x^3} \] Известна формула: \[ \frac{d}{dz} \arccos z = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \] Тогда: \[ v' = - \frac{1}{\sqrt{1 - (2x^3)^2}} \cdot \frac{d}{dx} (2x^3) \] Вычислим производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} (2x^3) = 6x^2 \] Подставим: \[ v' = - \frac{6x^2}{\sqrt{1 - 4x^6}} \] --- ### Итоговая производная: \[ y' = u' v + u v' \] Подставим найденные выражения: \[ y' = \left(-7 (\cot x)^6 \csc^2 x \right) \cdot \arccos 2x^3 + (\cot x)^7 \cdot \left( - \frac{6x^2}{\sqrt{1 - 4x^6}} \right) \] Или упростим: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = -7 (\cot x)^6 \csc^2 x \cdot \arccos 2x^3 - \frac{6x^2 (\cot x)^7}{\sqrt{1 - 4x^6}} } \] --- ### Итог: Это — искомая производная функции. Если нужно, я могу подробно объяснить каждое из полученных выражений или помочь упростить итоговый ответ.