Общее решение дифференциального уравнения y'-(3xy)/(x)=x3
Поскольку цель — понять решение дифференциального уравнения, я постараюсь объяснить максимально подробно и пошагово.
Задача: решить уравнение
\[ y' - \frac{3xy}{x} = x^3 \]
Шаг 1. Упростим уравнение
Обратите внимание, в уравнении есть выражение \(\frac{3xy}{x}\). Можно сократить \(x\):
\[ \frac{3xy}{x} = 3y \]
Тогда исходное уравнение приобретает вид:
\[ y' - 3y = x^3 \]
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:
\[ y' + p(x) y = q(x) \]
где:
- \(p(x) = -3\)
- \(q(x) = x^3\)
Шаг 2. Определим интегрирующий множитель
Для решения такого уравнения используют интегрирующий множитель \( \mu(x) \), который задается как:
\[ \mu(x) = e^{\int p(x) dx} \]
Подставляем \(p(x) = -3\):
\[ \mu(x) = e^{\int -3 dx} = e^{-3x} \]
Шаг 3. Умножим уравнение на интегрирующий множитель
Переведем уравнение:
\[ y' - 3 y = x^3 \]
умножая все на \(e^{-3x}\):
\[ e^{-3x} y' - 3 e^{-3x} y = x^3 e^{-3x} \]
Обратите внимание, левая часть — производная произведения \( y \cdot e^{-3x} \). То есть:
\[ \frac{d}{dx} [ y \cdot e^{-3x} ] = x^3 e^{-3x} \]
Это свойство следует из формулы дифференцирования произведения.
Шаг 4. Проинтегрируем обе части
Теперь:
\[ \frac{d}{dx} [ y e^{-3x} ] = x^3 e^{-3x} \]
Чтобы получить \( y \), нужно найти неопределенный интеграл справа:
\[ y e^{-3x} = \int x^3 e^{-3x} dx + C \]
где \(C\) — произвольная константа.
Шаг 5. Интегрируем \(\int x^3 e^{-3x} dx\)
Это интеграл вида:
\[ \int x^n e^{ax} dx \]
где \(n=3\), \(a=-3\).
Для его вычисления используют метод интегрирования по частям, применяемый рекурсивно.
Обозначим:
\[ I_n = \int x^n e^{ax} dx \]
Тогда:
\[ I_n = \frac{1}{a} x^n e^{ax} - \frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} dx = \frac{1}{a} x^n e^{ax} - \frac{n}{a} I_{n-1} \]
Начнем с \(I_0\):
\[ I_0 = \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \]
Пошагово решим для \(n=3\):
Вычисление \(I_3\):
\[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a} I_2 \]
где
\[ I_2 = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a} I_1 \]
и
\[ I_1 = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a} I_0 \]
а
\[ I_0 = \frac{1}{a} e^{ax} \]
подставим их:
\[ I_1 = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} e^{ax} = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a^2} e^{ax} \]
\[ I_2 = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a} \left( \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a^2} e^{ax} \right) = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a^2} x e^{ax} + \frac{2}{a^3} e^{ax} \]
Теперь,
\[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a} \left( \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a^2} x e^{ax} + \frac{2}{a^3} e^{ax} \right) \]
раскроем скобки:
\[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a^2} x^2 e^{ax} + \frac{6}{a^3} x e^{ax} - \frac{6}{a^4} e^{ax} \]
Теперь, вернемся к исходным значениям: \(a=-3\).
Подставим \(a = -3\):
\[ I_3 = \frac{1}{-3} x^3 e^{-3x} - \frac{3}{(-3)^2} x^2 e^{-3x} + \frac{6}{(-3)^3} x e^{-3x} - \frac{6}{(-3)^4} e^{-3x} \]
посчитаем каждое:
- \(\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\)
- \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
- \(\frac{6}{-27} = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}\)
- \(\frac{6}{81} = \frac{2}{27}\)
итого:
\[ I_3 = -\frac{1}{3} x^3 e^{-3x} - \frac{1}{3} x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} + \frac{2}{27} e^{-3x} + C \]
Шаг 6. Полученное общее решение
Вернемся к уравнению:
\[ y e^{-3x} = I_3 + C \]
Подставляем выражение для интеграла:
\[ y e^{-3x} = -\frac{1}{3} x^3 e^{-3x} - \frac{1}{3} x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} + \frac{2}{27} e^{-3x} + C \]
Вынесем \(e^{-3x}\):
\[ y e^{-3x} = e^{-3x} \left( -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} \right) + C \]
Делим обе части на \(e^{-3x}\):
\[ y = -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} + C e^{3x} \]
Итоговое решение:
\[ \boxed{ \ y(x) = -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} + C e^{3x} } \]
где \(C\) — произвольная постоянная.
Если что-то осталось непонятным или нужен более детальный разбор какого-то шага — спрашивайте!
