Общее решение дифференциального уравнения y'-(3xy)/(x)=x3

Поскольку цель — понять решение дифференциального уравнения, я постараюсь объяснить максимально подробно и пошагово. Задача: решить уравнение \[ y' - \frac{3xy}{x} = x^3 \] --- ## Шаг 1. Упростим уравнение Обратите внимание, в уравнении есть выражение \(\frac{3xy}{x}\). Можно сократить \(x\): \[ \frac{3xy}{x} = 3y \] Тогда исходное уравнение приобретает вид: \[ y' - 3y = x^3 \] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме: \[ y' + p(x) y = q(x) \] где: - \(p(x) = -3\) - \(q(x) = x^3\) --- ## Шаг 2. Определим интегрирующий множитель Для решения такого уравнения используют интегрирующий множитель \( \mu(x) \), который задается как: \[ \mu(x) = e^{\int p(x) dx} \] Подставляем \(p(x) = -3\): \[ \mu(x) = e^{\int -3 dx} = e^{-3x} \] --- ## Шаг 3. Умножим уравнение на интегрирующий множитель Переведем уравнение: \[ y' - 3 y = x^3 \] умножая все на \(e^{-3x}\): \[ e^{-3x} y' - 3 e^{-3x} y = x^3 e^{-3x} \] Обратите внимание, левая часть — производная произведения \( y \cdot e^{-3x} \). То есть: \[ \frac{d}{dx} [ y \cdot e^{-3x} ] = x^3 e^{-3x} \] Это свойство следует из формулы дифференцирования произведения. --- ## Шаг 4. Проинтегрируем обе части Теперь: \[ \frac{d}{dx} [ y e^{-3x} ] = x^3 e^{-3x} \] Чтобы получить \( y \), нужно найти неопределенный интеграл справа: \[ y e^{-3x} = \int x^3 e^{-3x} dx + C \] где \(C\) — произвольная константа. --- ## Шаг 5. Интегрируем \(\int x^3 e^{-3x} dx\) Это интеграл вида: \[ \int x^n e^{ax} dx \] где \(n=3\), \(a=-3\). Для его вычисления используют метод интегрирования по частям, применяемый рекурсивно. Обозначим: \[ I_n = \int x^n e^{ax} dx \] Тогда: \[ I_n = \frac{1}{a} x^n e^{ax} - \frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} dx = \frac{1}{a} x^n e^{ax} - \frac{n}{a} I_{n-1} \] Начнем с \(I_0\): \[ I_0 = \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \] Пошагово решим для \(n=3\): ### Вычисление \(I_3\): \[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a} I_2 \] где \[ I_2 = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a} I_1 \] и \[ I_1 = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a} I_0 \] а \[ I_0 = \frac{1}{a} e^{ax} \] подставим их: \[ I_1 = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} e^{ax} = \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a^2} e^{ax} \] \[ I_2 = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a} \left( \frac{1}{a} x e^{ax} - \frac{1}{a^2} e^{ax} \right) = \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a^2} x e^{ax} + \frac{2}{a^3} e^{ax} \] Теперь, \[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a} \left( \frac{1}{a} x^2 e^{ax} - \frac{2}{a^2} x e^{ax} + \frac{2}{a^3} e^{ax} \right) \] раскроем скобки: \[ I_3 = \frac{1}{a} x^3 e^{ax} - \frac{3}{a^2} x^2 e^{ax} + \frac{6}{a^3} x e^{ax} - \frac{6}{a^4} e^{ax} \] Теперь, вернемся к исходным значениям: \(a=-3\). Подставим \(a = -3\): \[ I_3 = \frac{1}{-3} x^3 e^{-3x} - \frac{3}{(-3)^2} x^2 e^{-3x} + \frac{6}{(-3)^3} x e^{-3x} - \frac{6}{(-3)^4} e^{-3x} \] посчитаем каждое: - \(\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\) - \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) - \(\frac{6}{-27} = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}\) - \(\frac{6}{81} = \frac{2}{27}\) итого: \[ I_3 = -\frac{1}{3} x^3 e^{-3x} - \frac{1}{3} x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} + \frac{2}{27} e^{-3x} + C \] --- ## Шаг 6. Полученное общее решение Вернемся к уравнению: \[ y e^{-3x} = I_3 + C \] Подставляем выражение для интеграла: \[ y e^{-3x} = -\frac{1}{3} x^3 e^{-3x} - \frac{1}{3} x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} + \frac{2}{27} e^{-3x} + C \] Вынесем \(e^{-3x}\): \[ y e^{-3x} = e^{-3x} \left( -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} \right) + C \] Делим обе части на \(e^{-3x}\): \[ y = -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} + C e^{3x} \] --- ## Итоговое решение: \[ \boxed{ \ y(x) = -\frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{2}{9} x + \frac{2}{27} + C e^{3x} } \] где \(C\) — произвольная постоянная. --- Если что-то осталось непонятным или нужен более детальный разбор какого-то шага — спрашивайте!