Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждое действие.
Итак, нам даны функции:
- (f(x) = 2x^3 - 17x),
- (q(x) = 3x - 7),
- и функция ( t(x) = q(x) - f(x) ).
Также известно, что функции (f(x)) и (q(x)) являются возврастающими.
Задача:
- Найти значение ( t(9) - t(6) ).
- Определить, является ли функция ( t(x) ) возврастающей или убывающей.
Шаг 1: Запишем функцию ( t(x) )
[
t(x) = q(x) - f(x) = (3x - 7) - (2x^3 - 17x)
]
Раскроем скобки:
[
t(x) = 3x - 7 - 2x^3 + 17x
]
Объединим похожие слагаемые:
[
t(x) = (-2x^3) + (3x + 17x) - 7 = -2x^3 + 20x - 7
]
Шаг 2: Найдём ( t(9) ) и ( t(6) )
Для (x=9):
[
t(9) = -2 \times 9^3 + 20 \times 9 - 7
]
Вычислим поэтапно:
[
9^3 = 729
]
[
-2 \times 729 = -1458
]
[
20 \times 9 = 180
]
Теперь:
[
t(9) = -1458 + 180 - 7 = -1458 + 173 = -1285
]
Для (x=6):
[
t(6) = -2 \times 6^3 + 20 \times 6 - 7
]
Вычислим:
[
6^3 = 216
]
[
-2 \times 216 = -432
]
[
20 \times 6 = 120
]
Теперь:
[
t(6) = -432 + 120 - 7 = -432 + 113 = -319
]
Шаг 3: Найти ( t(9) - t(6) )
[
t(9) - t(6) = -1285 - (-319) = -1285 + 319 = -966
]
Ответ:
[
\boxed{-966}
]
Шаг 4: Определение возрастания или убывания функции ( t(x) )
Для этого найдем её производную ( t'(x) ):
[
t(x) = -2x^3 + 20x - 7
]
[
t'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 20x - 7) = -6x^2 + 20
]
Рассмотрим знак ( t'(x) ):
[
t'(x) = -6x^2 + 20
]
или
[
t'(x) = 20 - 6x^2
]
Сравним с нулём:
[
20 - 6x^2 > 0 \Rightarrow 6x^2 < 20 \Rightarrow x^2 < \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33
]
[
|x| < \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.826
]
- Для (|x| < 1.826), ( t'(x) > 0 ) — функция возрастает.
- Для (|x| > 1.826), ( t'(x) < 0 ) — функция убывает.
Поскольку исходные функции (f(x)) и (q(x)) возростали, а (t(x) = q(x) - f(x)), то в целом с учётом производной, (t(x)) возрастает на интервале (-1.826 < x < 1.826), и убывает за его пределами.
Итог:
- Значение ( t(9) - t(6) = -966 ).
- Функция ( t(x) ) убывает для достаточно больших по модулю (x), и возрастает в районе (x \in (-1.826, 1.826)).
Если вам нужно более точное описание поведения функции или помощь с другими задачами — обращайтесь!
