Известно, что функция f(x) =2x^3-17x и q(x) =3x-7 являются возвростающими. Найти значение t(9) -t(6) , если t(x) =q(x) -f(x), и определи является ли функция t(x) возврастающей или…

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждое действие.

Итак, нам даны функции:

• \(f(x) = 2x^3 - 17x\),
• \(q(x) = 3x - 7\),
• и функция \( t(x) = q(x) - f(x) \).

Также известно, что функции \(f(x)\) и \(q(x)\) являются возврастающими.

Задача:

1. Найти значение \( t(9) - t(6) \).
2. Определить, является ли функция \( t(x) \) возврастающей или убывающей.

Шаг 1: Запишем функцию \( t(x) \)

\[ t(x) = q(x) - f(x) = (3x - 7) - (2x^3 - 17x) \]

Раскроем скобки: \[ t(x) = 3x - 7 - 2x^3 + 17x \]

Объединим похожие слагаемые: \[ t(x) = (-2x^3) + (3x + 17x) - 7 = -2x^3 + 20x - 7 \]

Шаг 2: Найдём \( t(9) \) и \( t(6) \)

Для \(x=9\): \[ t(9) = -2 \times 9^3 + 20 \times 9 - 7 \] Вычислим поэтапно: \[ 9^3 = 729 \] \[ -2 \times 729 = -1458 \] \[ 20 \times 9 = 180 \] Теперь: \[ t(9) = -1458 + 180 - 7 = -1458 + 173 = -1285 \]

Для \(x=6\): \[ t(6) = -2 \times 6^3 + 20 \times 6 - 7 \] Вычислим: \[ 6^3 = 216 \] \[ -2 \times 216 = -432 \] \[ 20 \times 6 = 120 \] Теперь: \[ t(6) = -432 + 120 - 7 = -432 + 113 = -319 \]

Шаг 3: Найти \( t(9) - t(6) \)

\[ t(9) - t(6) = -1285 - (-319) = -1285 + 319 = -966 \]

Ответ: \[ \boxed{-966} \]

Шаг 4: Определение возрастания или убывания функции \( t(x) \)

Для этого найдем её производную \( t'(x) \):

\[ t(x) = -2x^3 + 20x - 7 \] \[ t'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 20x - 7) = -6x^2 + 20 \]

Рассмотрим знак \( t'(x) \): \[ t'(x) = -6x^2 + 20 \] или \[ t'(x) = 20 - 6x^2 \]

Сравним с нулём: \[ 20 - 6x^2 > 0 \Rightarrow 6x^2 < 20 \Rightarrow x^2 < \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \] \[ |x| < \sqrt{\frac{10}{3}} \approx 1.826 \]

• Для \(|x| < 1.826\), \( t'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• Для \(|x| > 1.826\), \( t'(x) < 0 \) — функция убывает.

Поскольку исходные функции \(f(x)\) и \(q(x)\) возростали, а \(t(x) = q(x) - f(x)\), то в целом с учётом производной, \(t(x)\) возрастает на интервале \(-1.826 < x < 1.826\), и убывает за его пределами.

Итог:

• Значение \( t(9) - t(6) = -966 \).
• Функция \( t(x) \) убывает для достаточно больших по модулю \(x\), и возрастает в районе \(x \in (-1.826, 1.826)\).

Если вам нужно более точное описание поведения функции или помощь с другими задачами — обращайтесь!