Для определения вероятности того, что Мария встретит хотя бы одного из своих знакомых во время прогулки, можно воспользоваться моделью вероятности событий.
Дано:
- Общее население города: ( N = 1,300,000 )
- Количество знакомых: ( M = 670 )
- Количество встретивших людей за прогулку: ( k = 970 )
Шаг 1: Понимание задачи
Нам нужно найти вероятность того, что среди 970 встреченных человек есть хотя бы один знакомый.
Это событие — "встретить хотя бы одного знакомого".
Шаг 2: Использование дополнения
Вероятность встречи хотя бы одного знакомого равна:
[
P(\text{хотя бы один знакомый}) = 1 - P(\text{не встретить ни одного знакомого})
]
Шаг 3: Расчет вероятности не встретить ни одного знакомого
Если при случайных встречах вероятность встретить знакомого равна ( p = \frac{M}{N} ), то вероятность не встретить знакомого при одной встрече — ( 1 - p ).
Предполагая, что встречи — это независимые события и что выборка встреченных людей — случайная, вероятность того, что все ( k = 970 ) человек — чужие, равна:
[
P(\text{все чужие}) = \left(1 - \frac{M}{N}\right)^{k}
]
Шаг 4: Вычисление
[
P(\text{хотя бы один знакомый}) = 1 - \left(1 - \frac{670}{1,300,000}\right)^{970}
]
Подставим значения:
[
P = 1 - \left(1 - \frac{670}{1,300,000}\right)^{970}
]
[
P = 1 - \left(1 - 0.00051538\right)^{970}
]
[
P = 1 - (0.99948462)^{970}
]
Используем приближение для степени:
[
(0.99948462)^{970} \approx e^{970 \times \ln(0.99948462)}
]
Для малых ( x ), ( \ln(1 - x) \approx -x ), то есть:
[
\ln(0.99948462) \approx -0.00051538
]
Следовательно:
[
e^{970 \times (-0.00051538)} = e^{-0.5}
]
[
e^{-0.5} \approx 0.6065
]
Теперь находим итог:
[
P \approx 1 - 0.6065 = 0.3935
]
Ответ:
Вероятность того, что Мария встретит хотя бы одного знакомого во время прогулки, примерно 39.35%.
Если нужно более точное значение или объяснение — пожалуйста, сообщите!
