Найдите нули функции у=4х²-25/(х-2)(х+7)

Рассмотрим функцию: \[ y = 4x^2 - \frac{25}{(x - 2)(x + 7)} \] Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( y = 0 \), то есть: \[ 4x^2 - \frac{25}{(x - 2)(x + 7)} = 0 \] --- ### Шаг 1: выпишем уравнение \[ 4x^2 = \frac{25}{(x - 2)(x + 7)} \] ### Шаг 2: избавимся от дроби — умножим обе части уравнения на знаменатель \((x - 2)(x + 7)\): \[ 4x^2 \cdot (x - 2)(x + 7) = 25 \] ### Шаг 3: раскроем скобки \((x - 2)(x + 7)\): \[ (x - 2)(x + 7) = x^2 + 7x - 2x - 14 = x^2 + 5x - 14 \] Тогда уравнение примет вид: \[ 4x^2 (x^2 + 5x - 14) = 25 \] --- ### Шаг 4: раскроем левую часть, умножая: \[ 4x^2 \cdot x^2 + 4x^2 \cdot 5x - 4x^2 \cdot 14 = 25 \] Что даёт: \[ 4x^4 + 20x^3 - 56x^2 = 25 \] ### Шаг 5: перенесем 25 в левую часть и упростим уравнение: \[ 4x^4 + 20x^3 - 56x^2 - 25 = 0 \] --- ### Шаг 6: искать корни этого уравнения Это уравнение четвертой степени (квадратичное по переменной \(x^2\)), попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы Виета или подставляя подходящие делители свободного члена. Кратко — для уравнения: \[ 4x^4 + 20x^3 - 56x^2 - 25 = 0 \] Легко заметить, что рационального корня в виде целого числа или дроби, скорее всего, нет. Поэтому попробуем использовать численные методы или сделать замену. Но перед этим попробуем простые варианты. --- ### Шаг 7: попробуем подставить нули (x = 0): \[ 4 \cdot 0 + 20 \cdot 0 - 56 \cdot 0 - 25 = -25 \neq 0 \] Нет. --- ### Шаг 8: попробуем рациональные делители свободного члена \(-25\): Делители — \(\pm 1, \pm 5, \pm 25\). Подставим в исходное уравнение \(x=1\): \[ 4(1)^4 + 20(1)^3 - 56(1)^2 - 25 = 4 + 20 - 56 - 25 = -57 \neq 0 \] \(x= -1\): \[ 4 - 20 - 56 - 25 = -97 \neq 0 \] \(x=5\): \[ 4 \cdot 625 + 20 \cdot 125 - 56 \cdot 25 - 25 \] Посчитаем: \[ 4 \cdot 625 = 2500 \\ 20 \cdot 125 = 2500 \\ 56 \cdot 25 = 1400 \] Тогда: \[ 2500 + 2500 - 1400 - 25 = 5000 - 1425 = 3575 \neq 0 \] \(x= -5\): \[ 4 \cdot 625 - 20 \cdot 125 - 1400 - 25 \] \[ 2500 - 2500 - 1400 - 25 = -1425 \neq 0 \] \[ x=25\): \[ 4 \cdot 25^4 + 20 \cdot 25^3 - 56 \cdot 25^2 - 25 \] Это очень большое число, и понятно, что корень в этих точках не появится. --- ### Итог: Четвертичное уравнение достаточно сложное для решения без специальных методов (например, графика или числовых методов). Поэтому можно сделать вывод: - Исходная функция не имеет простых рациональных нулей. - Для точного нахождения решений можно применить методы численного анализа или графический анализ. --- ### **Ответ**: **Нули функции находятся при решении уравнения:** \[ 4x^4 + 20x^3 - 56x^2 - 25 = 0 \] или в оригинальной форме: \[ 4x^2 = \frac{25}{(x - 2)(x + 7)} \] Решение этого уравнения можно найти методом подбора, графического анализа или численными способами. --- Если нужно, я могу помочь с построением графика или проведением численного анализа для поиска приближённых значений.