у=5х²+3х-3

Конечно! Рассмотрим данное уравнение:
\[ y = 5x^2 + 3x - 3 \]

Цель — понять его свойства и возможные способы работы с ним.

Что это за уравнение?

Это квадратичная функция, которая задается выражением вида \( y = ax^2 + bx + c \).
Здесь:

• \( a = 5 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
• \( b = 3 \),
• \( c = -3 \).

Шаг 1: Определение вида графика

Поскольку \( a = 5 > 0 \), парабола будет направлена вверх.

Шаг 2: Найдём вершину параболы

Вершина — это точка минимума, и её координаты находятся по формулам:
\[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} \]
\[ y_{вершина} = f(x_{вершина}) \]

Подставим:
\[ x_{вершина} = -\frac{3}{2 \times 5} = -\frac{3}{10} = -0.3 \]

Теперь найдём \( y \):
\[ y_{вершина} = 5 \times (-0.3)^2 + 3 \times (-0.3) -3 \]

Обчислим:
\[ (-0.3)^2 = 0.09 \]
\[ 5 \times 0.09 = 0.45 \]
\[ 3 \times (-0.3) = -0.9 \]

Тогда:
\[ y_{вершина} = 0.45 - 0.9 - 3 = -3.45 \]

Итак, вершина параболы находится в точке:
\[ (-0.3,\ -3.45) \]

Шаг 3: Найдём дискриминант

Это важно для определения корней уравнения, если поставить задачу так: для каких \(x\) \( y=0 \)?

Общее уравнение:
\[ 5x^2 + 3x - 3 = 0 \]

Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 5 \times (-3) \]

Вычислим:
\[ D = 9 + 60 = 69 \]

Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня.

Шаг 4: Решение уравнения

Корни по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{2 \times 5} = \frac{-3 \pm \sqrt{69}}{10} \]

Поскольку \(\sqrt{69} \approx 8.3066\), получим:

• Первый корень:
  \[ x_1 = \frac{-3 + 8.3066}{10} = \frac{5.3066}{10} \approx 0.5307 \]

• Второй корень:
  \[ x_2 = \frac{-3 - 8.3066}{10} = \frac{-11.3066}{10} \approx -1.1307 \]

Итог

• График: парабола, открывающаяся вверх.
• Вершина: \(\left(-0.3,\ -3.45\right)\).
• Корни уравнения: примерно \(x \approx 0.5307 \) и \(x \approx -1.1307 \).

Если нужно, я могу помочь построить график или ответить на дополнительные вопросы!