Решите систему уравнений двумя способами 2x + y = 11; 5x - 4y = 8
Давайте решим систему уравнений:
- \( 2x + y = 11 \)
- \( 5x - 4y = 8 \)
Я предоставлю два способа решения: метод подстановки и метод сложения.
Способ 1: Метод подстановки
Шаг 1. Выразим \( y \) из первого уравнения
Из уравнения \( 2x + y = 11 \):
\[ y = 11 - 2x \]
Шаг 2. Подставим это выражение в второе уравнение
Замена \( y \) на \( 11 - 2x \) в уравнении \( 5x - 4y = 8 \):
\[ 5x - 4(11 - 2x) = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 5x - 44 + 8x = 8 \]
Объединим подобные члены:
\[ (5x + 8x) - 44 = 8 \] \[ 13x - 44 = 8 \]
Шаг 3. Решим полученное уравнение для \( x \)
Прибавим 44 к обеим частям:
\[ 13x = 8 + 44 \] \[ 13x = 52 \]
Разделим на 13:
\[ x = \frac{52}{13} = 4 \]
Шаг 4. Найдём \( y \)
Подставим \( x = 4 \) в выражение для \( y \):
\[ y = 11 - 2 \times 4 = 11 - 8 = 3 \]
Ответ: \(\boxed{x=4,\ y=3}\)
Способ 2: Метод сложения
Шаг 1. Обратим внимание, что нужно избавиться от одного из переменных
Рассмотрим уравнения:
\[ 2x + y = 11 \quad (1) \] \[ 5x - 4y = 8 \quad (2) \]
Чтобы сложением исключить одну переменную, сделаем коэффициенты при \( y \) противоположными.
Шаг 2. Приведем уравнения так, чтобы коэффициенты по \( y \) были равны по модулю
Умножим уравнение (1) на 4:
\[ 4(2x + y) = 4 \times 11 \] \[ 8x + 4y = 44 \quad (3) \]
Теперь уравнение (2) — \( 5x - 4y = 8 \).
Шаг 3. Складываем уравнения (3) и (2)
\[ (8x + 4y) + (5x - 4y) = 44 + 8 \]
Обратите внимание, что \( 4y \) и \( -4y \) сократятся:
\[ 8x + 5x = 52 \] \[ 13x = 52 \]
Решаем для \( x \):
\[ x = \frac{52}{13} = 4 \]
Шаг 4. Найдём \( y \)
Вернёмся к исходное уравнение (1): \( 2x + y = 11 \)
Подставим \( x = 4 \):
\[ 2 \times 4 + y = 11 \] \[ 8 + y = 11 \] \[ y = 11 - 8 = 3 \]
Ответ: \(\boxed{x=4,\ y=3}\)
Если нужны дополнительные разъяснения или другой способ, я готов помочь!
