Так и спать легли, (не)послав телеграммы как пишется не

Понимаю, вы хотите разобраться, как правильно писать слово "не" с глаголами или другими словами. В русском языке есть важное правило касательно слитного или раздельного написания "не".

Правило:

• Если слово с "не" можно заменить синонимом без "не" и смысл сохраняется, то "не" пишется слитно.
• Если слово можно заменить синонимом без "не", то "не" пишется слитно.
• Если слово можно заменить синонимом с "не", есть противоположное слово (например, "спать" и "не спать" — "провалиться") или есть частица "не" подчеркнуто, то пишется раздельно.

Пример:

• Так и спать легли = не легли (не ложились спать) — в данном случае, чтобы отрицать факт, правильнее писать "не легли".
• "послав телеграммы" — подтверждение действия.
• В вашем вопросе "Так и спать легли, (не)послав телеграммы" — тут есть двусмысленность:
  • Если смысл в том, что человек не отправил телеграмму и от этого он лег спать — нужно писать "не послав" (слитно, так как это деепричастие с отрицанием).
  • Тогда полностью фраза будет: "Так и спать легли, не послав телеграммы."

Ответ: "не" пишется слитно, если речь о деепричастии с отрицанием — правильное написание: "не послав".

Если нужно более подробно по конкретной части или есть еще вопрос, — скажите!