Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A\,(-4;-5)A(−4;−5) , B\,(10;2)B(10;2) , C\,(2;3)C(2;3) и D\,(6;-5)D(6;−5) . Найди координаты точки…

Давайте поэтапно решим задачу, чтобы найти координаты точки пересечения отрезков AB и CD.

---

Шаг 1. Построение координатной плоскости и отметка точек

Запишем координаты всех точек:

• A(-4; -5)
• B(10; 2)
• C(2; 3)
• D(6; -5)

На графике отметим каждую точку.

---

Шаг 2. Нахождение уравнений отрезков AB и CD

Чтобы найти точку пересечения, сначала запишем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

---

Шаг 3. Уравнение отрезка AB

Координаты:

• \(A(-4,-5)\)
• \(B(10,2)\)

Найдем наклонений (коэффициент \(k\)): \[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

Теперь уравнение прямой через точку А: \[ y - y_1 = k_{AB}(x - x_1) \] \[ y + 5 = \frac{1}{2}(x + 4) \]

Раскроем скобки: \[ y + 5 = \frac{1}{2}x + 2 \] \[ y = \frac{1}{2}x + 2 - 5 \] \[ \boxed{y = \frac{1}{2}x - 3} \]

---

Шаг 4. Уравнение отрезка CD

Координаты:

• \(C(2, 3)\)
• \(D(6, -5)\)

Наклонение: \[ k_{CD} = \frac{-5 - 3}{6 - 2} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Уравнение через точку C: \[ y - 3 = -2(x - 2) \] Раскроем скобки: \[ y - 3 = -2x + 4 \] \[ y = -2x + 4 + 3 \] \[ \boxed{y = -2x + 7} \]

---

Шаг 5. Решение системы уравнений для нахождения точки пересечения

Нам нужно найти такие \(x\) и \(y\), при которых выполняются оба уравнения:

\[ \frac{1}{2}x - 3 = -2x + 7 \]

Решаем это уравнение:

\[ \frac{1}{2}x + 2x = 7 + 3 \]

Приведем подобные члены: \[ \frac{1}{2}x + 2x = \frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = \frac{5}{2}x \]

Итак,

\[ \frac{5}{2}x = 10 \] \[ x = \frac{10 \times 2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]

Чтобы найти \(y\), подставим \(x=4\) в одно из уравнений, например, в уравнение для AB: \[ y = \frac{1}{2} \times 4 - 3 = 2 - 3 = -1 \]

---

Ответ:

Координаты точки пересечения отрезков AB и CD: \[ \boxed{(4, -1)} \]

---

Важно!

Обратите внимание, что данная точка — точка пересечения продолженных прямых. Чтобы убедиться, что она лежит внутри отрезков, проверьте, входит ли она в интервалы по x и y для каждого отрезка:

• Отрезок AB: \(x \in [-4, 10]\), \(y \in [-5, 2]\).
  \(x=4\) — входит в интервал \([-4, 10]\),
  \(y=-1\) — входит в интервал \([-5, 2]\).

• Отрезок CD: \(x \in [2, 6]\), \(y \in [-5, 3]\).
  \(x=4\) — входит в интервал \([2, 6]\),
  \(y=-1\) — входит в интервал \([-5, 3]\).

Значит, точка \((4, -1)\) действительно лежит на обоих отрезках.

---

Если нужны дополнительные объяснения — спрашивайте!