Давайте поэтапно решим задачу, чтобы найти координаты точки пересечения отрезков AB и CD.
Шаг 1. Построение координатной плоскости и отметка точек
Запишем координаты всех точек:
- A(-4; -5)
- B(10; 2)
- C(2; 3)
- D(6; -5)
На графике отметим каждую точку.
Шаг 2. Нахождение уравнений отрезков AB и CD
Чтобы найти точку пересечения, сначала запишем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.
Шаг 3. Уравнение отрезка AB
Координаты:
Найдем наклонений (коэффициент (k)):
[
k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}
]
Теперь уравнение прямой через точку А:
[
y - y_1 = k_{AB}(x - x_1)
]
[
y + 5 = \frac{1}{2}(x + 4)
]
Раскроем скобки:
[
y + 5 = \frac{1}{2}x + 2
]
[
y = \frac{1}{2}x + 2 - 5
]
[
\boxed{y = \frac{1}{2}x - 3}
]
Шаг 4. Уравнение отрезка CD
Координаты:
Наклонение:
[
k_{CD} = \frac{-5 - 3}{6 - 2} = \frac{-8}{4} = -2
]
Уравнение через точку C:
[
y - 3 = -2(x - 2)
]
Раскроем скобки:
[
y - 3 = -2x + 4
]
[
y = -2x + 4 + 3
]
[
\boxed{y = -2x + 7}
]
Шаг 5. Решение системы уравнений для нахождения точки пересечения
Нам нужно найти такие (x) и (y), при которых выполняются оба уравнения:
[
\frac{1}{2}x - 3 = -2x + 7
]
Решаем это уравнение:
[
\frac{1}{2}x + 2x = 7 + 3
]
Приведем подобные члены:
[
\frac{1}{2}x + 2x = \frac{1}{2}x + \frac{4}{2}x = \frac{5}{2}x
]
Итак,
[
\frac{5}{2}x = 10
]
[
x = \frac{10 \times 2}{5} = \frac{20}{5} = 4
]
Чтобы найти (y), подставим (x=4) в одно из уравнений, например, в уравнение для AB:
[
y = \frac{1}{2} \times 4 - 3 = 2 - 3 = -1
]
Ответ:
Координаты точки пересечения отрезков AB и CD:
[
\boxed{(4, -1)}
]
Важно!
Обратите внимание, что данная точка — точка пересечения продолженных прямых. Чтобы убедиться, что она лежит внутри отрезков, проверьте, входит ли она в интервалы по x и y для каждого отрезка:
Отрезок AB: (x \in [-4, 10]), (y \in [-5, 2]).
(x=4) — входит в интервал ([-4, 10]),
(y=-1) — входит в интервал ([-5, 2]).
Отрезок CD: (x \in [2, 6]), (y \in [-5, 3]).
(x=4) — входит в интервал ([2, 6]),
(y=-1) — входит в интервал ([-5, 3]).
Значит, точка ((4, -1)) действительно лежит на обоих отрезках.
Если нужны дополнительные объяснения — спрашивайте!
