Решить

Давайте подробно разберем задачу. **Задача:** На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \). Требуется найти расстояние между двумя соседними отмеченными точками. --- ### Шаг 1: Анализ условий задачи. - Расстояния между соседними точками равны. - три точки имеют координаты \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \). - Нам нужно найти то же самое — расстояние между двумя соседними точками, то есть разницу между их координатами, так как они расположены на прямой. --- ### Шаг 2: Определить порядок точек. Поскольку точки расположены на прямой, важен порядок их расположения, то есть какие координаты идут слева направо. - Чтобы понять порядок, сравним \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \). Рассмотрим случаи: - Если \( x > 0 \): - \( x^2 > 0 \) - \( 2x > 0 \) Их порядок зависит от значения \( x \): - Например, при \( x > 1 \): - \( x^2 > 2x \) (так как \( x^2 - 2x = x(x - 2) \)): - Если \( x > 2 \), то \( x^2 > 2x \). - При \( 1 < x < 2 \): - \( x^2 \) может быть больше или меньше \( 2x \), всё зависит от конкретного значения. - Аналогичные рассуждения при \( x < 0 \). --- ### Шаг 3: Рассмотрим конкретный случай, чтобы найти расстояние. Для нахождения расстояния, нужно понять, какая из координат больше, чтобы определить соседние точки. Рассмотрим пример: - Пусть \( x > 0 \). Проверим сравнение \( x^2 \) и \( 2x \): - \( x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \). Значит: - \( x = 0 \), или - \( x = 2 \). Для \( x > 0 \): - если \( 0 < x < 2 \): - \( x^2 < 2x \), так как \( x^2 - 2x < 0 \). Значит, порядок \( x < x^2 < 2x \). - если \( x > 2 \): - \( x^2 > 2x \), итого, порядок: \( x < 2x < x^2 \). --- ### Шаг 4: Вычислим расстояния между соседними точками. Рассмотрим первый вариант: \( 0 < x < 2 \) - порядок: \( x \), \( x^2 \), \( 2x \). Расстояния между соседними точками: - между \( x \) и \( x^2 \): \( x^2 - x \). - между \( x^2 \) и \( 2x \): \( 2x - x^2 \). Поскольку расстояния между любыми двумя соседними точками равны, значит: \[ x^2 - x = 2x - x^2 \] Решим это уравнение: \[ x^2 - x = 2x - x^2 \] \[ x^2 - x - 2x + x^2 = 0 \] \[ 2x^2 - 3x = 0 \] \[ x(2x - 3) = 0 \] Тогда: - \( x = 0 \), что не подходит, так как \( x > 0 \). - или \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \). Проверим, что \( x = \frac{3}{2} \) подходит: - \( 0 < \frac{3}{2} < 2 \), значит, порядок верен: \( x \), \( x^2 \), \( 2x \). Расстояние между соседними точками: \[ x^2 - x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \] Проверим, равно ли это расстоянию между \( x^2 \) и \( 2x \): \[ 2x - x^2 = \frac{3}{2} \times 2 - \frac{9}{4} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \] Они равны, что соответствует условию. ### **Ответ:** \[ \boxed{\frac{3}{4}} \] --- ### **ИТОГ:** Расстояние между двумя соседними точками равно \(\frac{3}{4}\).