Решить

Давайте подробно разберем задачу.

Задача:
На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \). Требуется найти расстояние между двумя соседними отмеченными точками.

---

Шаг 1: Анализ условий задачи.

• Расстояния между соседними точками равны.
• три точки имеют координаты \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \).
• Нам нужно найти то же самое — расстояние между двумя соседними точками, то есть разницу между их координатами, так как они расположены на прямой.

---

Шаг 2: Определить порядок точек.

Поскольку точки расположены на прямой, важен порядок их расположения, то есть какие координаты идут слева направо.

• Чтобы понять порядок, сравним \( x \), \( x^2 \), и \( 2x \).

Рассмотрим случаи:

• Если \( x > 0 \):

  • \( x^2 > 0 \)
  • \( 2x > 0 \)

  Их порядок зависит от значения \( x \):

  • Например, при \( x > 1 \):
    • \( x^2 > 2x \) (так как \( x^2 - 2x = x(x - 2) \)):
      • Если \( x > 2 \), то \( x^2 > 2x \).
    • При \( 1 < x < 2 \):
      • \( x^2 \) может быть больше или меньше \( 2x \), всё зависит от конкретного значения.

• Аналогичные рассуждения при \( x < 0 \).

---

Шаг 3: Рассмотрим конкретный случай, чтобы найти расстояние.

Для нахождения расстояния, нужно понять, какая из координат больше, чтобы определить соседние точки.

Рассмотрим пример:

• Пусть \( x > 0 \).

Проверим сравнение \( x^2 \) и \( 2x \):

• \( x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \).

Значит:

• \( x = 0 \), или
• \( x = 2 \).

Для \( x > 0 \):

• если \( 0 < x < 2 \):

  • \( x^2 < 2x \), так как \( x^2 - 2x < 0 \).

  Значит, порядок \( x < x^2 < 2x \).

• если \( x > 2 \):

  • \( x^2 > 2x \),

  итого, порядок: \( x < 2x < x^2 \).

---

Шаг 4: Вычислим расстояния между соседними точками.

Рассмотрим первый вариант: \( 0 < x < 2 \)

• порядок: \( x \), \( x^2 \), \( 2x \).

Расстояния между соседними точками:

• между \( x \) и \( x^2 \): \( x^2 - x \).
• между \( x^2 \) и \( 2x \): \( 2x - x^2 \).

Поскольку расстояния между любыми двумя соседними точками равны, значит:

\[ x^2 - x = 2x - x^2 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 - x = 2x - x^2 \] \[ x^2 - x - 2x + x^2 = 0 \] \[ 2x^2 - 3x = 0 \] \[ x(2x - 3) = 0 \]

Тогда:

• \( x = 0 \), что не подходит, так как \( x > 0 \).
• или \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).

Проверим, что \( x = \frac{3}{2} \) подходит:

• \( 0 < \frac{3}{2} < 2 \), значит, порядок верен: \( x \), \( x^2 \), \( 2x \).

Расстояние между соседними точками:

\[ x^2 - x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \]

Проверим, равно ли это расстоянию между \( x^2 \) и \( 2x \):

\[ 2x - x^2 = \frac{3}{2} \times 2 - \frac{9}{4} = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \]

Они равны, что соответствует условию.

Ответ:

\[ \boxed{\frac{3}{4}} \]

---

ИТОГ:

Расстояние между двумя соседними точками равно \(\frac{3}{4}\).