Давайте решим задачу по функции (f(x) = \cos x \cdot \cos 6x - \sin x \cdot \sin 6x), объясняя каждый шаг подробно.
Шаг 1: Определение задачи
Нам нужно упростить выражение:
[f(x) = \cos x \cdot \cos 6x - \sin x \cdot \sin 6x]
Шаг 2: Вспомним триггонометрические тождества
Известное тождество для произведения косинусов и синусов:
[
\cos A \cos B = \frac{\cos(A+B) + \cos(A-B)}{2}
]
[
\sin A \sin B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{2}
]
Однако, тут есть более подходящая истина — формулы для суммы и разности косинусов и синусов.
Но лучше воспользоваться формулой для суммы косинусов:
[
\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos (A + B)
]
Это стандартное тригонометрическое тождество, которое очень подходит в данном случае.
Шаг 3: Применение тождества
Сравним исходное выражение с тождеством:
[
f(x) = \cos x \cos 6x - \sin x \sin 6x
]
По формуле:
[
\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos (A + B)
]
Поменяем (A = x), (B = 6x):
[
f(x) = \cos (x + 6x) = \cos 7x
]
Ответ:
[
\boxed{
f(x) = \cos 7x
}
]
Это упрощённое выражение, которое показывает, что исходное выражение — это косинус семиразового угла.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробно разобрать тригонометрические тождества, скажите!
