От пристани А до пристани Б вверх по течению вышел катер. Через 1 час после этого из пункта Б навстречу катеру отправился плот и через 2 часа встретился с катером. Найдите собственную скорость катера, если между пристанями А и Б 25 км, а скорость течения реки 2 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Давайте подробно разберем задачу и решим ее по шагам. **Дано:** - Расстояние между пристанями А и Б: \( 25 \text{ км} \) - Скорость течения реки: \( 2 \text{ км/ч} \) **Что происходит:** - Катер вышел из пристани А к пристани Б *вверх по течению*. - Через 1 час после выхода из А из пункта Б навстречу катеру отправился плот. - Плот и катер встретились через 2 часа после отправления плота. Нужно найти **скорость собственного движения катера** (без течения). --- ### Шаг 1. Обозначим переменные - \( v_c \) — собственная скорость катера (то, что ищем). - \( v_t = 2 \text{ км/ч} \) — скорость течения. ### Шаг 2. Определим, как движутся участники - Катер идет **вверх по течению**, значит его реальная скорость относительно земли: \( v_c + v_t \). - Плот идет **по течению**, его скорость относительно земли \( v_t \). --- ### Шаг 3. Время и путь катера Катер вышел из А в момент времени \( t = 0 \). - Через 1 час после этого, из пункта Б отправляется плот: - Время отправления плота — 1 час после катера. - Время, проведенное катером до момента встречи — \( t_{встречи} - 1 \) часов. - Время, проведенное плотом до встречи — 2 часа. --- ### Шаг 4. Определим координаты и пути Обозначим: - Путь катера за время \( t \): \( (v_c + v_t) \times t \). - Поскольку катер стоит у А, а встретятся они через \( t \) часов, то: Катер за \( t \) часов проплывет: \[ S_c = (v_c + v_t) \times t \] Известно, что катер и плот встретились через 2 часа после отправления плота, то есть: Плот за 2 часа прошел: \[ S_p = v_t \times 2 \] Общая дистанция между ними в момент встречи должна совпадать с расстоянием, пройденным каждым: - Катер прошел за \( t_{встречи} \) часов: \( (v_c + v_t) \times (t_{встречи}) \). - Плот за 2 часа: \( v_t \times 2 \). --- ### Шаг 5. Определим, где произошла встреча - Плот вышел из Б через 1 час после катера, то есть расстояние от Б до места встречи: \[ S_{Б \to встреча} = v_t \times 2 \] - Катер, начав из А, за \( t \) часов прошел: \[ S_{А \to встреча} = (v_c + v_t) \times t \] - Расстояние между А и Б составляет 25 км, и учетом направления, посчитаем, что катер успел до встречи пройти часть пути в сторону Б. --- ### Шаг 6. Время и позиции Катер вышел в \( t=0 \), а плот — в \( t = 1 \text{ час} \). Плот за 2 часа после отправки: \[ S_{плот} = 2 v_t = 2 \times 2 = 4 \text{ км} \] Плот начал из Б (который расположен в конце пути). За эти 2 часа плот прошел 4 км по течению, значит, он встретил катер где-то на пути. --- ### Шаг 7. Расклад по времени - Катер прошел расстояние за \( t_{встречи} \): \[ S_{катер} = (v_c + v_t) \times t_{встречи} \] - Самое главное: в момент встречи, \[ S_{катер} + S_{плот} = Расстояние между их стартовыми позициями \] Однако, поскольку плот начал из Б и прошел 4 км за 2 часа, он стартует из Б и движется в сторону А, а катер — из А в сторону Б. --- ### Шаг 8. Время встречи и расстояние - Катер начально из А прошел за \( t_{встречи} \): \[ S_{катер} = (v_c + v_t) \times t_{встречи} \] - Известно, что плот идет 2 часа, и прошел 4 км, и они встретились через 2 часа после отправки плота. Положим, что: - Время встречи после времени вышедшего катера: \( T \) часов. - Тогда, катер прошел за это время: \[ (v_c + v_t) \times T \] - Плот — за 2 часа: \[ 4 \text{ км} \] Расстояние между стартовыми точками в момент встречи равно: \[ \text{расстояние} = \text{задание} \] --- ### **Основное уравнение:** Общая длина пути (25 км) состоит из пути катера и пути плота: \[ (v_c + v_t) \times T + v_t \times 2 = 25 \] Также важно учитывать, что плот начел из Б через 1 час, а катер — из А. Поскольку катер начал из А в 0 часов, а плот — в 1 час, и они встретились через 2 часа после отправки плота, то: - Катер прошел за \( T \) часов: \( (v_c + v_t) \times T \), - Плот прошел 4 км за 2 часа. Общее время, прошедшее от старта катера до встречи: \( T \). --- ### Шаг 9. Итоговое решение Общее расстояние между пристанями 25 км: \[ (v_c + v_t) \times T + v_t \times 2 = 25 \] Но реальное время \( T \) — это время второго участников, ведь катер стартовал в 0 ч, а плот — в 1 ч, и они встретились через 2 часа после отправки плота, составляя: \[ T = t_{встречи} \] Из условия активности — встреча происходит через 2 часа после отправления плота из Б, то есть: \[ T = 3 \text{ часа} \] (так как плот вышел в 1 час, а встреча — в 3 часа). Проведем вычисления: \[ (v_c + 2) \times 3 + 2 \times 2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ 3v_c + 6 + 4 = 25 \] Объединим: \[ 3v_c + 10 = 25 \] Выразим \( v_c \): \[ 3v_c = 15 \] \[ v_c = 5 \text{ км/ч} \] --- ### **Ответ:** **Собственная скорость катера — 5 км/ч.**