От пристани А до пристани Б вверх по течению вышел катер. Через 1 час после этого из пункта Б навстречу катеру отправился плот и через 2 часа встретился с катером. Найдите…
От пристани А до пристани Б вверх по течению вышел катер. Через 1 час после этого из пункта Б навстречу катеру отправился плот и через 2 часа встретился с катером. Найдите собственную скорость катера, если между пристанями А и Б 25 км, а скорость течения реки 2 км/ч. Ответ выразите в км/ч.
Давайте подробно разберем задачу и решим ее по шагам.
Дано:
- Расстояние между пристанями А и Б: \( 25 \text{ км} \)
- Скорость течения реки: \( 2 \text{ км/ч} \)
Что происходит:
- Катер вышел из пристани А к пристани Б вверх по течению.
- Через 1 час после выхода из А из пункта Б навстречу катеру отправился плот.
- Плот и катер встретились через 2 часа после отправления плота.
Нужно найти скорость собственного движения катера (без течения).
Шаг 1. Обозначим переменные
- \( v_c \) — собственная скорость катера (то, что ищем).
- \( v_t = 2 \text{ км/ч} \) — скорость течения.
Шаг 2. Определим, как движутся участники
- Катер идет вверх по течению, значит его реальная скорость относительно земли: \( v_c + v_t \).
- Плот идет по течению, его скорость относительно земли \( v_t \).
Шаг 3. Время и путь катера
Катер вышел из А в момент времени \( t = 0 \).
- Через 1 час после этого, из пункта Б отправляется плот:
- Время отправления плота — 1 час после катера.
- Время, проведенное катером до момента встречи — \( t_{встречи} - 1 \) часов.
- Время, проведенное плотом до встречи — 2 часа.
Шаг 4. Определим координаты и пути
Обозначим:
- Путь катера за время \( t \): \( (v_c + v_t) \times t \).
- Поскольку катер стоит у А, а встретятся они через \( t \) часов, то:
Катер за \( t \) часов проплывет: \[ S_c = (v_c + v_t) \times t \]
Известно, что катер и плот встретились через 2 часа после отправления плота, то есть:
Плот за 2 часа прошел: \[ S_p = v_t \times 2 \]
Общая дистанция между ними в момент встречи должна совпадать с расстоянием, пройденным каждым:
- Катер прошел за \( t_{встречи} \) часов: \( (v_c + v_t) \times (t_{встречи}) \).
- Плот за 2 часа: \( v_t \times 2 \).
Шаг 5. Определим, где произошла встреча
- Плот вышел из Б через 1 час после катера, то есть расстояние от Б до места встречи: \[ S_{Б \to встреча} = v_t \times 2 \]
- Катер, начав из А, за \( t \) часов прошел: \[ S_{А \to встреча} = (v_c + v_t) \times t \]
- Расстояние между А и Б составляет 25 км, и учетом направления, посчитаем, что катер успел до встречи пройти часть пути в сторону Б.
Шаг 6. Время и позиции
Катер вышел в \( t=0 \), а плот — в \( t = 1 \text{ час} \).
Плот за 2 часа после отправки: \[ S_{плот} = 2 v_t = 2 \times 2 = 4 \text{ км} \]
Плот начал из Б (который расположен в конце пути).
За эти 2 часа плот прошел 4 км по течению, значит, он встретил катер где-то на пути.
Шаг 7. Расклад по времени
- Катер прошел расстояние за \( t_{встречи} \): \[ S_{катер} = (v_c + v_t) \times t_{встречи} \]
- Самое главное: в момент встречи, \[ S_{катер} + S_{плот} = Расстояние между их стартовыми позициями \]
Однако, поскольку плот начал из Б и прошел 4 км за 2 часа, он стартует из Б и движется в сторону А, а катер — из А в сторону Б.
Шаг 8. Время встречи и расстояние
- Катер начально из А прошел за \( t_{встречи} \): \[ S_{катер} = (v_c + v_t) \times t_{встречи} \]
- Известно, что плот идет 2 часа, и прошел 4 км, и они встретились через 2 часа после отправки плота.
Положим, что:
- Время встречи после времени вышедшего катера: \( T \) часов.
- Тогда, катер прошел за это время: \[ (v_c + v_t) \times T \]
- Плот — за 2 часа: \[ 4 \text{ км} \]
Расстояние между стартовыми точками в момент встречи равно:
\[ \text{расстояние} = \text{задание} \]
Основное уравнение:
Общая длина пути (25 км) состоит из пути катера и пути плота:
\[ (v_c + v_t) \times T + v_t \times 2 = 25 \]
Также важно учитывать, что плот начел из Б через 1 час, а катер — из А.
Поскольку катер начал из А в 0 часов, а плот — в 1 час, и они встретились через 2 часа после отправки плота, то:
- Катер прошел за \( T \) часов: \( (v_c + v_t) \times T \),
- Плот прошел 4 км за 2 часа.
Общее время, прошедшее от старта катера до встречи: \( T \).
Шаг 9. Итоговое решение
Общее расстояние между пристанями 25 км:
\[ (v_c + v_t) \times T + v_t \times 2 = 25 \]
Но реальное время \( T \) — это время второго участников, ведь катер стартовал в 0 ч, а плот — в 1 ч, и они встретились через 2 часа после отправки плота, составляя:
\[ T = t_{встречи} \]
Из условия активности — встреча происходит через 2 часа после отправления плота из Б, то есть:
\[ T = 3 \text{ часа} \]
(так как плот вышел в 1 час, а встреча — в 3 часа).
Проведем вычисления:
\[ (v_c + 2) \times 3 + 2 \times 2 = 25 \]
Раскроем скобки:
\[ 3v_c + 6 + 4 = 25 \]
Объединим:
\[ 3v_c + 10 = 25 \]
Выразим \( v_c \):
\[ 3v_c = 15 \]
\[ v_c = 5 \text{ км/ч} \]
Ответ:
Собственная скорость катера — 5 км/ч.
