Давайте упростим выражение (\sqrt{40}).
Шаг 1. Найдём разложение числа 40 на простые множители.
40 делится на 2:
[ 40 = 2 \times 20 ]
Продолжаем разлагать 20:
[ 20 = 2 \times 10 ]
И 10:
[ 10 = 2 \times 5 ]
Итак, разложение 40 на простые множители:
[ 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 ]
Шаг 2. Использовать свойства квадратных корней.
Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней:
[ \sqrt{40} = \sqrt{2^3 \times 5} ]
Можно вынести из-под корня квадраты:
[ \sqrt{2^3 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 5} ]
Поскольку (\sqrt{a^2} = a), вынесем (2^2 = 4) из-под корня:
[ \sqrt{2^2 \times 2 \times 5} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{2 \times 5} = 2 \times \sqrt{10} ]
Шаг 3. Итог:
[
\boxed{
\sqrt{40} = 2\sqrt{10}
}
]
Это и есть упрощённый вид этого выражения.
