Давайте подробно разберём эту задачу.
Условие задачи:
- Стрелок стреляет по мишени, пока не попадёт впервые.
- Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна: ( p = 0,6 ).
- Вероятность промаха: ( q = 1 - p = 0,4 ).
Нам нужно найти вероятности для двух случаев:
а) что потребуется ровно 5 попыток;
б) что потребуется от 2 до 4 попыток (то есть 2, 3 или 4 попытки).
Решение:
Это задача из области геометрического распределения вероятностей.
Формула вероятности для геометрического распределения:
[
P(X = n) = q^{n - 1} p
]
Где:
- ( X ) — номер попытки, с которой произошёл первый успех,
- ( n ) — число попыток,
- ( p ) — вероятность успеха на одной попытке,
- ( q = 1 - p ) — вероятность промаха.
а) Вероятность, что потребуется ровно 5 попыток:
Это вероятность, что первые 4 попытки — промахи, а 5-я — успех.
[
P(X = 5) = q^{4} \times p
]
Подставим значения:
[
P(X=5) = 0.4^{4} \times 0.6
]
Поймём последовательно:
- ( 0.4^4 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.0256 )
- Тогда:
[
P(X=5) = 0.0256 \times 0.6 = 0.01536
]
Ответ: 0,015 (округлён до тысячных).
б) Вероятность, что потребуется от 2 до 4 попыток:
Это сумма вероятностей для случаев, когда первый успех случается на 2, 3 или 4-й попытке:
[
P(2 \leq X \leq 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
]
Вычислим каждое:
- ( P(X=2) = q^{1} \times p = 0.4^{1} \times 0.6 = 0.4 \times 0.6 = 0.24 )
- ( P(X=3) = q^{2} \times p = 0.4^{2} \times 0.6 = 0.16 \times 0.6 = 0.096 )
- ( P(X=4) = q^{3} \times p = 0.4^{3} \times 0.6 = 0.064 \times 0.6 = 0.0384 )
Сложим эти вероятности:
[
0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744
]
Ответ: 0,374 (округлён до тысячных).
Итоговые ответы:
- а) Вероятность, что потребуется ровно 5 попыток: 0,015.
- б) Вероятность, что потребуется от 2 до 4 попыток: 0,374.
Если нужно ещё что-то — спрашивайте!
