195. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не по- падёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р = 0,6. Найдите вероятность того, что…

Давайте подробно разберём эту задачу.

Условие задачи:

• Стрелок стреляет по мишени, пока не попадёт впервые.
• Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна: \( p = 0,6 \).
• Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0,4 \).

Нам нужно найти вероятности для двух случаев:

а) что потребуется ровно 5 попыток;

б) что потребуется от 2 до 4 попыток (то есть 2, 3 или 4 попытки).

Решение:

Это задача из области геометрического распределения вероятностей.

Формула вероятности для геометрического распределения:

\[ P(X = n) = q^{n - 1} p \]

Где:

• \( X \) — номер попытки, с которой произошёл первый успех,
• \( n \) — число попыток,
• \( p \) — вероятность успеха на одной попытке,
• \( q = 1 - p \) — вероятность промаха.

а) Вероятность, что потребуется ровно 5 попыток:

Это вероятность, что первые 4 попытки — промахи, а 5-я — успех.

\[ P(X = 5) = q^{4} \times p \]

Подставим значения:

\[ P(X=5) = 0.4^{4} \times 0.6 \]

Поймём последовательно:

• \( 0.4^4 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.0256 \)
• Тогда:

\[ P(X=5) = 0.0256 \times 0.6 = 0.01536 \]

Ответ: 0,015 (округлён до тысячных).

б) Вероятность, что потребуется от 2 до 4 попыток:

Это сумма вероятностей для случаев, когда первый успех случается на 2, 3 или 4-й попытке:

\[ P(2 \leq X \leq 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \]

Вычислим каждое:

• \( P(X=2) = q^{1} \times p = 0.4^{1} \times 0.6 = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \)
• \( P(X=3) = q^{2} \times p = 0.4^{2} \times 0.6 = 0.16 \times 0.6 = 0.096 \)
• \( P(X=4) = q^{3} \times p = 0.4^{3} \times 0.6 = 0.064 \times 0.6 = 0.0384 \)

Сложим эти вероятности:

\[ 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744 \]

Ответ: 0,374 (округлён до тысячных).

Итоговые ответы:

• а) Вероятность, что потребуется ровно 5 попыток: 0,015.
• б) Вероятность, что потребуется от 2 до 4 попыток: 0,374.

Если нужно ещё что-то — спрашивайте!