Найтди радиус окрудности, в которую вписан прямоугольный треугольник ABC,где угол В равен 90,аб 21,вс 12 корень из 2
Давайте подробно решим задачу по поиску радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B, где:
- \( AB = 21 \),
- \( BC = 12\sqrt{2} \),
- \( \angle B = 90^\circ \).
Шаг 1. Определим гипотенузу и катеты треугольника
Поскольку \( \angle B \) — прямой, стороны \( AB \) и \( BC \) — катеты, а гипотенуза \( AC \).
Шаг 2. Найдём длину гипотенузы \( AC \)
По теореме Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Подставляем значения:
\[ AC = \sqrt{(21)^2 + (12\sqrt{2})^2} \]
\[ (21)^2 = 441 \]
\[ (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \times 2 = 144 \times 2 = 288 \]
Следовательно:
\[ AC = \sqrt{441 + 288} = \sqrt{729} = 27 \]
Шаг 3. Найдём радиус вписанной окружности \( r \)
Для прямоугольного треугольника существует формула радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
где:
- \( a \) и \( b \) — катеты,
- \( c \) — гипотенуза.
Подставим значения:
\[ r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{21 + 12\sqrt{2} - 27}{2} \]
Шаг 4. Упростим выражение
В числителе:
\[ 21 + 12\sqrt{2} - 27 = (21 - 27) + 12\sqrt{2} = -6 + 12\sqrt{2} \]
Радиус:
\[ r = \frac{-6 + 12\sqrt{2}}{2} = -3 + 6\sqrt{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{ r = 6\sqrt{2} - 3 } \]
Это и есть радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник.
