Давайте подробно решим задачу по поиску радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине B, где:
- ( AB = 21 ),
- ( BC = 12\sqrt{2} ),
- ( \angle B = 90^\circ ).
Шаг 1. Определим гипотенузу и катеты треугольника
Поскольку ( \angle B ) — прямой, стороны ( AB ) и ( BC ) — катеты, а гипотенуза ( AC ).
Шаг 2. Найдём длину гипотенузы ( AC )
По теореме Пифагора:
[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}
]
Подставляем значения:
[
AC = \sqrt{(21)^2 + (12\sqrt{2})^2}
]
[
(21)^2 = 441
]
[
(12\sqrt{2})^2 = 12^2 \times 2 = 144 \times 2 = 288
]
Следовательно:
[
AC = \sqrt{441 + 288} = \sqrt{729} = 27
]
Шаг 3. Найдём радиус вписанной окружности ( r )
Для прямоугольного треугольника существует формула радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
где:
- ( a ) и ( b ) — катеты,
- ( c ) — гипотенуза.
Подставим значения:
[
r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{21 + 12\sqrt{2} - 27}{2}
]
Шаг 4. Упростим выражение
В числителе:
[
21 + 12\sqrt{2} - 27 = (21 - 27) + 12\sqrt{2} = -6 + 12\sqrt{2}
]
Радиус:
[
r = \frac{-6 + 12\sqrt{2}}{2} = -3 + 6\sqrt{2}
]
Ответ:
[
\boxed{
r = 6\sqrt{2} - 3
}
]
Это и есть радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник.
