Вычислите
Давайте подробно решим выражение:
\[
(0.25)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} + (3)^2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} - 23 \cdot 2^{-7}
\]
Шаг 1: Упростим каждое слагаемое отдельно.
Первое слагаемое: \((0.25)^2\)
\(0.25 = \frac{1}{4}\)
Тогда \((\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}\)
Второе слагаемое: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\)
Используем свойство степеней: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
\(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{{-1}}\right)^2\)
Или проще: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = (4)^2 = 16\)
Третье слагаемое: \((3)^2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3}\)
\(3^2 = 9\)
\(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3}\)
Используем свойство отрицательных степеней: \(\left(a/b\right)^{-n} = (b/a)^n\)
\(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{5}\right)^3\)
Заметим, что знак отрицательного числа при нечетной степени сохраняется: \(\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = -\left(\frac{3}{5}\right)^3\)
Посчитаем \(\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}\)
Следовательно: \(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\frac{27}{125}\)
Теперь умножим на 9:
\[ 9 \times -\frac{27}{125} = - \frac{9 \times 27}{125} = - \frac{243}{125} \]
Четвертое слагаемое: \( -23 \cdot 2^{-7}\)
\(2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}\)
Значит:
\[ -23 \times \frac{1}{128} = - \frac{23}{128} \]
Собираем всё воедино:
\[ \frac{1}{16} + 16 + \left(- \frac{243}{125}\right) - \frac{23}{128} \]
Шаг 2: Найдём общий знаменатель для сложения и вычитания — множетель 16, 125 и 128.
16 = \(2^4\)
125 = \(5^3\)
128 = \(2^7\)
Общий знаменатель будет равно произведению \(2^7 \times 5^3 = 128 \times 125\)
Посчитаем:
\[ 128 \times 125 = (128 \times 100) + (128 \times 25) = 12800 + 3200 = 16000 \]
Итак, общий знаменатель — 16000.
Шаг 3: Приводим все слагаемые к общему знаменателю:
- \(\frac{1}{16}\):
\[ 16 = \frac{16000}{16} \implies \frac{16000/16} = 1000 \]
\[ \frac{1}{16} = \frac{1000}{16000} \]
- \(16 = \frac{16}{1}\):
\[ 16 = \frac{16 \times 16000}{1 \times 16000} = \frac{16 \times 16000}{16000} = \frac{256000}{16000} \]
- \(-\frac{243}{125}\):
\[ 125 \times 128 = 16000 \]
- Для приведения к знаменателю 16000:
\[ \frac{243}{125} = \frac{243 \times 128}{125 \times 128} = \frac{31104}{16000} \]
- Так как с отрицательным знаком:
\[ -\frac{243}{125} = -\frac{31104}{16000} \]
- \(-\frac{23}{128}\):
\[ 128 \times 125 = 16000 \]
- Для числителя:
\[ 23 \times 125 = 2875 \]
- С учётом знака:
\[ - \frac{23}{128} = - \frac{2875}{16000} \]
Шаг 4: Складываем все дроби:
\[ \frac{1000}{16000} + \frac{256000}{16000} - \frac{31104}{16000} - \frac{2875}{16000} \]
Общий числитель:
\[ 1000 + 256000 - 31104 - 2875 \]
Выполним последовательные операции:
\(1000 + 256000 = 257000\)
\(257000 - 31104 = 225896\)
\(225896 - 2875 = 223021\)
Итоговая дробь:
\[ \frac{223021}{16000} \]
Итог:
Ответ в виде несократимой дроби: \(\boxed{\frac{223021}{16000}}\)
или в десятичной форме:
\[ \frac{223021}{16000} \approx 13.9388 \]
