Вычислите

Давайте подробно решим выражение: \[ (0.25)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} + (3)^2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} - 23 \cdot 2^{-7} \] Шаг 1: Упростим каждое слагаемое отдельно. --- ### Первое слагаемое: \((0.25)^2\) - \(0.25 = \frac{1}{4}\) - Тогда \((\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}\) --- ### Второе слагаемое: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\) - Используем свойство степеней: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) - \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{{-1}}\right)^2\) - Или проще: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = (4)^2 = 16\) --- ### Третье слагаемое: \((3)^2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3}\) - \(3^2 = 9\) - \(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3}\) Используем свойство отрицательных степеней: \(\left(a/b\right)^{-n} = (b/a)^n\) - \(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{5}\right)^3\) Заметим, что знак отрицательного числа при нечетной степени сохраняется: \(\left(-\frac{3}{5}\right)^3 = -\left(\frac{3}{5}\right)^3\) - Посчитаем \(\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}\) - Следовательно: \(\left(-\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\frac{27}{125}\) - Теперь умножим на 9: \[ 9 \times -\frac{27}{125} = - \frac{9 \times 27}{125} = - \frac{243}{125} \] --- ### Четвертое слагаемое: \( -23 \cdot 2^{-7}\) - \(2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}\) - Значит: \[ -23 \times \frac{1}{128} = - \frac{23}{128} \] --- ### Собираем всё воедино: \[ \frac{1}{16} + 16 + \left(- \frac{243}{125}\right) - \frac{23}{128} \] --- ### Шаг 2: Найдём общий знаменатель для сложения и вычитания — множетель 16, 125 и 128. - 16 = \(2^4\) - 125 = \(5^3\) - 128 = \(2^7\) Общий знаменатель будет равно произведению \(2^7 \times 5^3 = 128 \times 125\) Посчитаем: \[ 128 \times 125 = (128 \times 100) + (128 \times 25) = 12800 + 3200 = 16000 \] Итак, общий знаменатель — 16000. --- ### Шаг 3: Приводим все слагаемые к общему знаменателю: 1. \(\frac{1}{16}\): \[ 16 = \frac{16000}{16} \implies \frac{16000/16} = 1000 \] \[ \frac{1}{16} = \frac{1000}{16000} \] 2. \(16 = \frac{16}{1}\): \[ 16 = \frac{16 \times 16000}{1 \times 16000} = \frac{16 \times 16000}{16000} = \frac{256000}{16000} \] 3. \(-\frac{243}{125}\): \[ 125 \times 128 = 16000 \] - Для приведения к знаменателю 16000: \[ \frac{243}{125} = \frac{243 \times 128}{125 \times 128} = \frac{31104}{16000} \] - Так как с отрицательным знаком: \[ -\frac{243}{125} = -\frac{31104}{16000} \] 4. \(-\frac{23}{128}\): \[ 128 \times 125 = 16000 \] - Для числителя: \[ 23 \times 125 = 2875 \] - С учётом знака: \[ - \frac{23}{128} = - \frac{2875}{16000} \] --- ### Шаг 4: Складываем все дроби: \[ \frac{1000}{16000} + \frac{256000}{16000} - \frac{31104}{16000} - \frac{2875}{16000} \] Общий числитель: \[ 1000 + 256000 - 31104 - 2875 \] Выполним последовательные операции: - \(1000 + 256000 = 257000\) - \(257000 - 31104 = 225896\) - \(225896 - 2875 = 223021\) Итоговая дробь: \[ \frac{223021}{16000} \] --- ### Итог: Ответ в виде несократимой дроби: \(\boxed{\frac{223021}{16000}}\) или в десятичной форме: \[ \frac{223021}{16000} \approx 13.9388 \] ---