В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8 см. Её высота 3 см. Найти объем пирамиды V и площаль её полной поверхности Р.
Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 8 \) см.
- Высота пирамиды — \( h = 3 \) см.
Нам нужно найти:
- Объем пирамиды \( V \).
- Площадь полной поверхности \( P \).
Шаг 1. Найти объем пирамиды \( V \)
Объем пирамиды с квадратным основанием рассчитывается по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times высота \]
Площадь основания \( S_{осн} \) — квадрат со стороной 8 см:
\[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \]
Подставляем в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \times 64 \times 3 = \frac{1}{3} \times 192 = 64 \text{ см}^3 \]
Ответ по объему:
\[ \boxed{V = 64 \text{ см}^3} \]
Шаг 2. Найти площадь полной поверхности \( P \)
Площадь полной поверхности — это сумма площади основания и площадей всех боковых боковых граней (треугольников).
Площадь основания:
\[ S_{осн} = 64 \text{ см}^2 \]
Площадь боковых граней:
Каждая боковая грань — равносторонний треугольник, основание которого равно стороне квадрата (8 см), а высота — высота пирамиды \( h_b \), которая вам нужна для вычисления площади треугольника.
Шаг 2.1. Найти апофизу (склон боковой грани)
Является высотой равностороннего треугольника \( h_b \), связанной с высотой пирамиды \( h \).
Для этого нужно рассмотреть треугольник, образованный:
- Высотой пирамиды \( h = 3 \) см,
- Половиной стороны основания (\( \frac{a}{2} = 4 \) см),
- Высотой боковой грани \( H \).
Это расстояние по поверхности (по боковой грани) от вершины пирамиды до середины основания квадрата.
Шаг 2.2. Найти длину образующей боковой грани (наклонной)
Рассмотрим треугольник, в котором:
- Катет — высота пирамиды \( h = 3 \) см,
- Другой катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} = 4 \) см,
Это поможет найти наклонную сторону боковой треугольной грани \( l \):
\[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
Это длина боковой ребра, которое образуется между вершиной пирамиды и серединой стороны основания.
Шаг 2.3. Найти площадь бокового треугольника
Боковая грань — треугольник с основанием \( a = 8 \) см и высотой \( H \), которую нужно найти. Ее высота — это апофиза треугольника (наклонная \( l = 5 \) см), а основание — сторона квадрата.
Площадь каждого бокового треугольника:
\[ S_{бока} = \frac{1}{2} \times a \times H \]
Но поскольку \( H \)— высота треугольника, она связана с наклонной \( l \) и полушириной основания. В данном случае, от вершины до середины основания, мы уже нашли \( l = 5 \) см. Тогда как найти \( H \)?
На самом деле, \( H \) — это высота бокового треугольника:
Рассмотрим треугольник, где:
- Катет — половина стороны основания \( 4 \) см,
- Другой катет — высота треугольника \( H \),
- Гипотенуза — \( l = 5 \) см.
Следовательно:
\[ H = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \]
Теперь площадь бокового треугольника:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ см}^2 \]
Так как пирамида — правильная, боковые грани равны по площади.
Всего боковых граней — 4.
Шаг 2.4. Найти площадь полного бокового поверхностии \( S_{бок} \):
\[ S_{бок всего} = 4 \times 12 = 48 \text{ см}^2 \]
Шаг 3. Найти площадь полной поверхности \( P \):
\[ P = S_{осн} + S_{бок всего} = 64 + 48 = 112 \text{ см}^2 \]
Итоги:
- Объем пирамиды: \(\boxed{64 \text{ см}^3}\).
- Площадь полной поверхности: \(\boxed{112 \text{ см}^2}\).
Если нужно, я могу дополнительно объяснить любой из этих шагов подробнее!
