В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8 см. Её высота 3 см. Найти объем пирамиды V и площаль её полной поверхности Р.

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап. **Дано:** - Основание пирамиды — квадрат со стороной \( a = 8 \) см. - Высота пирамиды — \( h = 3 \) см. **Нам нужно найти:** 1. Объем пирамиды \( V \). 2. Площадь полной поверхности \( P \). --- ### Шаг 1. Найти объем пирамиды \( V \) Объем пирамиды с квадратным основанием рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times высота \] Площадь основания \( S_{осн} \) — квадрат со стороной 8 см: \[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2 \] Подставляем в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{3} \times 64 \times 3 = \frac{1}{3} \times 192 = 64 \text{ см}^3 \] **Ответ по объему:** \[ \boxed{V = 64 \text{ см}^3} \] --- ### Шаг 2. Найти площадь полной поверхности \( P \) Площадь полной поверхности — это сумма площади основания и площадей всех боковых боковых граней (треугольников). **Площадь основания:** \[ S_{осн} = 64 \text{ см}^2 \] **Площадь боковых граней:** Каждая боковая грань — равносторонний треугольник, основание которого равно стороне квадрата (8 см), а высота — высота пирамиды \( h_b \), которая вам нужна для вычисления площади треугольника. ### Шаг 2.1. Найти апофизу (склон боковой грани) Является высотой равностороннего треугольника \( h_b \), связанной с высотой пирамиды \( h \). Для этого нужно рассмотреть треугольник, образованный: - Высотой пирамиды \( h = 3 \) см, - Половиной стороны основания (\( \frac{a}{2} = 4 \) см), - Высотой боковой грани \( H \). Это расстояние по поверхности (по боковой грани) от вершины пирамиды до середины основания квадрата. --- ### Шаг 2.2. Найти длину образующей боковой грани (наклонной) Рассмотрим треугольник, в котором: - Катет — высота пирамиды \( h = 3 \) см, - Другой катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} = 4 \) см, Это поможет найти наклонную сторону боковой треугольной грани \( l \): \[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] **Это длина боковой ребра, которое образуется между вершиной пирамиды и серединой стороны основания.** --- ### Шаг 2.3. Найти площадь бокового треугольника Боковая грань — треугольник с основанием \( a = 8 \) см и высотой \( H \), которую нужно найти. Ее высота — это апофиза треугольника (наклонная \( l = 5 \) см), а основание — сторона квадрата. Площадь каждого бокового треугольника: \[ S_{бока} = \frac{1}{2} \times a \times H \] Но поскольку \( H \)— высота треугольника, она связана с наклонной \( l \) и полушириной основания. В данном случае, от вершины до середины основания, мы уже нашли \( l = 5 \) см. Тогда как найти \( H \)? **На самом деле, \( H \) — это высота бокового треугольника:** Рассмотрим треугольник, где: - Катет — половина стороны основания \( 4 \) см, - Другой катет — высота треугольника \( H \), - Гипотенуза — \( l = 5 \) см. Следовательно: \[ H = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \] Теперь площадь бокового треугольника: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \text{ см}^2 \] Так как пирамида — правильная, боковые грани равны по площади. **Всего боковых граней — 4.** --- ### Шаг 2.4. Найти площадь полного бокового поверхностии \( S_{бок} \): \[ S_{бок всего} = 4 \times 12 = 48 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 3. Найти площадь полной поверхности \( P \): \[ P = S_{осн} + S_{бок всего} = 64 + 48 = 112 \text{ см}^2 \] --- ### Итоги: - **Объем пирамиды:** \(\boxed{64 \text{ см}^3}\). - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{112 \text{ см}^2}\). Если нужно, я могу дополнительно объяснить любой из этих шагов подробнее!