В корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых; хотя бы один неспелый; более половины спелых?

Давайте решим задачу поэтапно и подробно. В условии есть корзина с апельсинами: 7 спелых и 8 неспелых. Мы выбираем случайно 6 апельсинов. Нужно найти вероятности для нескольких событий. Общая информация: - Спелых апельсинов: 7 - Неспелых апельсинов: 8 - Общее число апельсинов: 7 + 8 = 15 - Выбирается 6 апельсинов. --- ### 1. Какова вероятность того, что среди выбранных 6 апельсинов 4 неспелых? **Шаг 1:** Определим число способов выбрать апельсины, где: - ровно 4 неспелых, - и соответственно 2 спелых (чтобы всего выбранных было 6). **Шаг 2:** Число способов выбрать 4 неспелых из 8: \[ \binom{8}{4} \] **Шаг 3:** Число способов выбрать 2 спелых из 7: \[ \binom{7}{2} \] **Шаг 4:** Общее число способов выбрать любые 6 апельсинов из 15: \[ \binom{15}{6} \] **Шаг 5:** Вероятность события: \[ P_1 = \frac{\binom{8}{4} \times \binom{7}{2}}{\binom{15}{6}} \] **Вычислим:** \[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \times 4!} = 70 \] \[ \binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \times 5!} = 21 \] \[ \binom{15}{6} = \frac{15!}{6! \times 9!} = 5005 \] Тогда, \[ P_1 = \frac{70 \times 21}{5005} = \frac{1470}{5005} \approx 0.293 \] --- ### 2. Какова вероятность, что среди выбранных апельсинов **хотя бы один неспелый**? Это проще сделать через дополняющую вероятность. Найти вероятность, что **во всех выбранных 6 апельсинах не будет неспелых** (то есть все 6 спелых). **Шаг 1:** Спелых апельсинов всего 7. Выбираем все 6 только из них: \[ \binom{7}{6} = 7 \] Или, говоря иначе, число способов выбрать 6 спелых из 7 — 7. **Шаг 2:** Общее число способов выбрать 6 апельсинов — как и раньше: \[ \binom{15}{6} = 5005 \] **Шаг 3:** Вероятность, что **нет неспелых** (то есть все 6 спелых): \[ P_{\text{нет неспелых}} = \frac{\binom{7}{6}}{\binom{15}{6}} = \frac{7}{5005} \] **Шаг 4:** Тогда вероятность того, что **хотя бы один неспелый**: \[ P_2 = 1 - P_{\text{нет неспелых}} = 1 - \frac{7}{5005} = \frac{5005 - 7}{5005} = \frac{4998}{5005} \approx 0.999 \] --- ### 3. Какова вероятность, что выбранные апельсины — **более половины спелых**? Это означает, что среди выбранных 6 апельсинов должно быть **по крайней мере 4 спелых** (так как половина 6 — 3; более половины — 4, 5 или 6). **Шаг 1:** Рассмотрим случаи: - 4 спелых и 2 неспелых, - 5 спелых и 1 неспелый, - 6 спелых и 0 неспелых. **Шаг 2:** Вычислим сумму вероятностей этих случаев. --- ### 4. Рассчитаем вероятность для каждого случая: **Случай 1:** 4 спелых, 2 неспелых. \[ \binom{7}{4} \times \binom{8}{2} \] **Случай 2:** 5 спелых, 1 неспелый. \[ \binom{7}{5} \times \binom{8}{1} \] **Случай 3:** 6 спелых, 0 неспелых. \[ \binom{7}{6} \times \binom{8}{0} \] Общее число способов выбрать эти 6 апельсинов из 15, как ранее, равно 5005. --- ### 5. Вычислим числовые значения: \[ \binom{7}{4} = 35 \] \[ \binom{8}{2} = 28 \] \[ \binom{7}{5} = 21 \] \[ \binom{8}{1} = 8 \] \[ \binom{7}{6} = 7 \] \[ \binom{8}{0} = 1 \] Теперь сумму числителей: \[ 35 \times 28 + 21 \times 8 + 7 \times 1 = (980) + (168) + (7) = 1155 \] **Вероятность:** \[ P_3 = \frac{1155}{5005} \approx 0.231 \] --- ## Итоговые ответы: 1. Вероятность, что среди выбранных 6 апельсинов 4 неспелых: \[ \boxed{P_1 = \frac{\binom{8}{4} \times \binom{7}{2}}{\binom{15}{6}} \approx 0.293} \] 2. Вероятность, что среди выбранных есть **хотя бы один неспелый**: \[ \boxed{P_2 = 1 - \frac{7}{5005} \approx 0.999} \] 3. Вероятность, что выбрано **более половины спелых (то есть 4 или более)**: \[ \boxed{P_3 = \frac{35 \times 28 + 21 \times 8 + 7 \times 1}{5005} \approx 0.231} \] Если нужно более подробное объяснение или помощь с каким-то шагом — скажи!