В корзине 7 спелых и 8 неспелых апельсинов. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу 6-ти апельсинов 4 неспелых; хотя бы один неспелый; более половины спелых?
Давайте решим задачу поэтапно и подробно. В условии есть корзина с апельсинами: 7 спелых и 8 неспелых. Мы выбираем случайно 6 апельсинов. Нужно найти вероятности для нескольких событий.
Общая информация:
- Спелых апельсинов: 7
- Неспелых апельсинов: 8
- Общее число апельсинов: 7 + 8 = 15
- Выбирается 6 апельсинов.
1. Какова вероятность того, что среди выбранных 6 апельсинов 4 неспелых?
Шаг 1: Определим число способов выбрать апельсины, где:
- ровно 4 неспелых,
- и соответственно 2 спелых (чтобы всего выбранных было 6).
Шаг 2: Число способов выбрать 4 неспелых из 8: \[ \binom{8}{4} \]
Шаг 3: Число способов выбрать 2 спелых из 7: \[ \binom{7}{2} \]
Шаг 4: Общее число способов выбрать любые 6 апельсинов из 15: \[ \binom{15}{6} \]
Шаг 5: Вероятность события: \[ P_1 = \frac{\binom{8}{4} \times \binom{7}{2}}{\binom{15}{6}} \]
Вычислим:
\[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \times 4!} = 70 \]
\[ \binom{7}{2} = \frac{7!}{2! \times 5!} = 21 \]
\[ \binom{15}{6} = \frac{15!}{6! \times 9!} = 5005 \]
Тогда,
\[ P_1 = \frac{70 \times 21}{5005} = \frac{1470}{5005} \approx 0.293 \]
2. Какова вероятность, что среди выбранных апельсинов хотя бы один неспелый?
Это проще сделать через дополняющую вероятность. Найти вероятность, что во всех выбранных 6 апельсинах не будет неспелых (то есть все 6 спелых).
Шаг 1: Спелых апельсинов всего 7. Выбираем все 6 только из них:
\[ \binom{7}{6} = 7 \]
Или, говоря иначе, число способов выбрать 6 спелых из 7 — 7.
Шаг 2: Общее число способов выбрать 6 апельсинов — как и раньше:
\[ \binom{15}{6} = 5005 \]
Шаг 3: Вероятность, что нет неспелых (то есть все 6 спелых):
\[ P_{\text{нет неспелых}} = \frac{\binom{7}{6}}{\binom{15}{6}} = \frac{7}{5005} \]
Шаг 4: Тогда вероятность того, что хотя бы один неспелый:
\[ P_2 = 1 - P_{\text{нет неспелых}} = 1 - \frac{7}{5005} = \frac{5005 - 7}{5005} = \frac{4998}{5005} \approx 0.999 \]
3. Какова вероятность, что выбранные апельсины — более половины спелых?
Это означает, что среди выбранных 6 апельсинов должно быть по крайней мере 4 спелых (так как половина 6 — 3; более половины — 4, 5 или 6).
Шаг 1: Рассмотрим случаи:
- 4 спелых и 2 неспелых,
- 5 спелых и 1 неспелый,
- 6 спелых и 0 неспелых.
Шаг 2: Вычислим сумму вероятностей этих случаев.
4. Рассчитаем вероятность для каждого случая:
Случай 1: 4 спелых, 2 неспелых.
\[ \binom{7}{4} \times \binom{8}{2} \]
Случай 2: 5 спелых, 1 неспелый.
\[ \binom{7}{5} \times \binom{8}{1} \]
Случай 3: 6 спелых, 0 неспелых.
\[ \binom{7}{6} \times \binom{8}{0} \]
Общее число способов выбрать эти 6 апельсинов из 15, как ранее, равно 5005.
5. Вычислим числовые значения:
\[ \binom{7}{4} = 35 \] \[ \binom{8}{2} = 28 \] \[ \binom{7}{5} = 21 \] \[ \binom{8}{1} = 8 \] \[ \binom{7}{6} = 7 \] \[ \binom{8}{0} = 1 \]
Теперь сумму числителей:
\[ 35 \times 28 + 21 \times 8 + 7 \times 1 = (980) + (168) + (7) = 1155 \]
Вероятность:
\[ P_3 = \frac{1155}{5005} \approx 0.231 \]
Итоговые ответы:
- Вероятность, что среди выбранных 6 апельсинов 4 неспелых:
\[ \boxed{P_1 = \frac{\binom{8}{4} \times \binom{7}{2}}{\binom{15}{6}} \approx 0.293} \]
- Вероятность, что среди выбранных есть хотя бы один неспелый:
\[ \boxed{P_2 = 1 - \frac{7}{5005} \approx 0.999} \]
- Вероятность, что выбрано более половины спелых (то есть 4 или более):
\[ \boxed{P_3 = \frac{35 \times 28 + 21 \times 8 + 7 \times 1}{5005} \approx 0.231} \]
Если нужно более подробное объяснение или помощь с каким-то шагом — скажи!
