Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке М причём AM: MB=1 : 2, CM = 18 см и CM = 6 см. Найдите AB.

Рассмотрим условия задачи:

• Даны две хорды AB и CD окружности, пересекающиеся в точке M.

• Отношение разбиения хорды AB на отрезки AM и MB: \(AM : MB = 1 : 2\).

• Отрезки хорды CD: \(CM = 18\,\text{см}\), и предположим, что вторая часть отрезка CD, то есть \(MD\), равна 6 см (исходя из указанного, вероятно, есть опечатка, и имелось в виду \(DM=6\,\text{см}\)). Однако следует уточнить:

  В условии указано: \(CM = 18\,\text{см}\) и \(CM = 6\,\text{см}\). Это противоречиво. Возможно, подразумевалось, что:

  • Отрезок \(CM = 18\,\text{см}\),
  • Отрезок \(DM = 6\,\text{см}\).

Предположим, что так, так как это логичный сценарий.

Анализ задачи:

1. Так как точки M лежит на обеих хордах, и хорды пересекаются именно в M, то по теореме о пересечении chords (теорема о секущих):

\[ AM \cdot MB = CM \cdot DM \]

2. Подставим известные значения:

\[ AM \cdot MB = 18 \times 6 = 108 \]

3. Из условия \(AM : MB = 1 : 2\). Пусть

\[ AM = x, \quad MB = 2x \]

Тогда:

\[ x \cdot 2x = 108 \Rightarrow 2x^2 = 108 \Rightarrow x^2 = 54 \Rightarrow x = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \]

4. Тогда длина хорды AB:

\[ AB = AM + MB = x + 2x = 3x = 3 \times 3\sqrt{6} = 9\sqrt{6} \]

Итог:

\[ \boxed{AB = 9\sqrt{6}\text{ см}} \]

Это приблизительно равно:

\[ 9 \times \sqrt{6} \approx 9 \times 2.45 \approx 22.05\,\text{см} \]

Ответ:

Длина хорды AB равна \(9\sqrt{6}\,\text{см}\).