Периметр треугольника равен 71, одна из сторон 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6, найти площадь этого треугольника
Рассмотрим задачу: у нас есть треугольник с периметром \( P = 71 \), одна из сторон равна 21, радиус вписанной окружности \( r = 6 \). Нужно найти площадь этого треугольника.
Обозначим стороны треугольника как \( a, b, c \). Пусть сторона длиной 21 — это \( a \), тогда: \[ a = 21 \\ P = a + b + c = 71 \Rightarrow b + c = 50 \]
Шаг 1. Определение полупериметра и площади через радиус вписанной окружности
Обозначим полупериметр: \[ s = \frac{P}{2} = \frac{71}{2} = 35.5 \]
Формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{s} \] где \( S \) — площадь треугольника.
Отсюда выражается площадь: \[ S = r \times s = 6 \times 35.5 = 213 \]
Теперь у нас есть площадь треугольника: \( S = 213 \).
Шаг 2. Использование формулы Герона
Формула Герона для площади: \[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]
Подставим известные значения: \[ 213 = \sqrt{35.5 \times (35.5 - 21) \times (35.5 - b) \times (35.5 - c)} \]
Вычислим первые два множителя: \[ 35.5 - 21 = 14.5 \]
Также известно, что \( b + c = 50 \). Так как \( b, c \) — стороны, и их сумма — 50, попробуем выразить через переменную \( x = b \):
\[ c = 50 - b \]
Подставим в формулу Герона: \[ 213 = \sqrt{35.5 \times 14.5 \times (35.5 - b) \times (35.5 - (50 - b))} \]
Раскроем скобки во втором множестве: \[ 35.5 - (50 - b) = 35.5 - 50 + b = -14.5 + b \]
Получаем: \[ 213 = \sqrt{35.5 \times 14.5 \times (35.5 - b) \times (-14.5 + b)} \]
Возьмем квадрат обе стороны: \[ 213^2 = 35.5 \times 14.5 \times (35.5 - b) \times (b -14.5) \]
Значение \( 213^2 \): \[ 213^2 = 45369 \]
Объединим константы: \[ 35.5 \times 14.5 \]
Посчитаем: \[ 35.5 \times 14.5 = (35 \times 14.5) + (0.5 \times 14.5) = (35 \times 14.5) + 7.25 \]
Вычислим \( 35 \times 14.5 \): \[ 35 \times 14.5 = (30 + 5) \times 14.5 = 30 \times 14.5 + 5 \times 14.5 = 435 + 72.5 = 507.5 \]
Теперь: \[ 507.5 + 7.25 = 514.75 \]
Итак, уравнение: \[ 45369 = 514.75 \times (35.5 - b) \times (b - 14.5) \]
Обозначим: \[ x = b \]
Тогда: \[ (35.5 - x)(x - 14.5) = \frac{45369}{514.75} \approx 88.2 \]
Раскроем скобки: \[ (35.5 - x)(x - 14.5) = 35.5x - 35.5 \times 14.5 - x^2 + 14.5x \]
Вычислим \( 35.5 \times 14.5 = 514.75 \) (уже нашли ранее). Тогда:
\[ 35.5x + 14.5x - 514.75 - x^2 = 88.2 \]
Объединим подобные: \[ (35.5 + 14.5)x - x^2 - 514.75 = 88.2 \]
\[ 50x - x^2 - 514.75 = 88.2 \]
Перенесем все в левую часть: \[ -x^2 + 50x - 514.75 - 88.2 = 0 \]
или: \[ -x^2 + 50x - 602.95 = 0 \]
Умножим все уравнение на \(-1\), чтобы сделать коеффициент при \(x^2\) положительным: \[ x^2 - 50x + 602.95 = 0 \]
Шаг 3. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней: \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \times 1 \times 602.95}}{2} \]
Посчитаем дискриминант: \[ D = 2500 - 4 \times 602.95 = 2500 - 2411.8 = 88.2 \]
Найдем корни: \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{88.2}}{2} \]
Приближенно: \[ \sqrt{88.2} \approx 9.39 \]
Тогда: \[ x_1 = \frac{50 + 9.39}{2} \approx \frac{59.39}{2} \approx 29.7 \] \[ x_2 = \frac{50 - 9.39}{2} \approx \frac{40.61}{2} \approx 20.3 \]
Значит, возможные значения для \(b\):
\[ b \approx 29.7 \quad \text{или} \quad 20.3 \]
Следовательно, \( c = 50 - b \):
- Если \(b \approx 29.7\), то \( c \approx 20.3 \).
- Если \(b \approx 20.3\), то \( c \approx 29.7 \).
Это соответствует тому, что стороны примерно равны 21, 29.7 и 20.3, что подходит под условие существования треугольника.
Ответ:
- Одна сторона равна 21.
- Другие две стороны примерно 20.3 и 29.7.
- Площадь треугольника \( S \approx 213 \).
Если необходимо, я могу дать точные значения или дополнительно объяснить некоторые шаги.
