17. B параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите AC, если AD = 6 см, BD = 5 см.
Давайте внимательно разберём задачу и найдем длину стороны AC параллелограмма ABCD при данных условиях.
Дано:
- Параллелограмм ABCD
- Диагональ BD
- BD перпендикулярна стороне AD
- AD = 6 см
- BD = 5 см
Шаг 1: Вспомним свойства параллелограмма и условие
- В параллелограмме стороны AD и BC равны.
- Диагональ BD, по условию, перпендикулярна стороне AD.
Шаг 2: Введение точек и координат
Для упрощения, разместим параллелограмм в координатной плоскости:
- Пусть точка D находится в начале координат: D(0, 0).
- Тогда точка A будет на вертикальном отрезке длины 6 см (так как AD =6), например, A(0, 6).
Теперь определим местоположение остальных точек:
Пусть сторона AD идет вертикально вверх.
Бока AB и DC, параллельные друг другу, будут параллельны стороне AD.
Есть точки B и C, такие что:
\[ B(x_b, y_b), \] \[ C(x_c, y_c), \] где \( B \) и \( C \) — вершины параллелограмма.
Шаг 3: Используем условие перпендикулярности
Диагональ BD перпендикулярна стороне AD.
- Вектор BD: \( \vec{BD} = (x_b - 0, y_b - 0) = (x_b, y_b) \).
- Вектор AD: \( \vec{AD} = (0, 6) \).
Чтобы BD перпендикулярна AD, их скалярное произведение равно нулю:
\[ \vec{BD} \cdot \vec{AD} = x_b \cdot 0 + y_b \cdot 6 = 0. \]
Следовательно,
\[ 6 y_b = 0 \quad \Rightarrow \quad y_b = 0. \]
Это значит, что точка B лежит на оси \( x \), то есть:
\[ B(x_b, 0). \]
Шаг 4: Используем длину BD
Длина BD равна 5 см:
\[ |\vec{BD}| = \sqrt{(x_b - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |x_b| = 5. \]
Тогда:
\[ x_b = \pm 5. \]
Выберем положительный вариант (можно и отрицательный, но результат одинаков):
\[ B(5, 0). \]
Шаг 5: Находим точку C
- В параллелограмме стороны BC и AD равны и параллельны.
- Так как \( A(0,6) \), и \( B(5, 0) \), то:
\[ \vec{AB} = (5 - 0, 0 - 6) = (5, -6), \]
Вершина C находится так, что \( \vec{DC} = \vec{AB} \), потому что \( ABCD \) — параллелограмм.
Так как \( D(0, 0) \), то:
\[ C = D + \vec{AB} = (0 + 5, 0 - 6) = (5, -6). \]
Шаг 6: Находим сторону AC и её длину
- \( A(0,6) \),
- \( C(5,-6) \).
Вектор:
\[ \vec{AC} = (5 - 0, -6 - 6) = (5, -12). \]
Длина:
\[ AC = |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13. \]
Ответ:
\[ \boxed{AC = 13\, \text{см}.} \]
Если есть ещё вопросы по решению — спрашивайте!
