Толя загадал натуральное число п и выписал на доску все натуральные числа от 1 до п. Затем он попытался сложить все выписанные числа и получил число 960, однако выяснилось, что…

Давайте подробно решим задачу.

Задача: Толя выписал все натуральные числа от 1 до п и сложил их, получив сумму \( S \). Однако он случайно добавил одно из чисел дважды, в результате получив сумму \( 960 \). Требуется найти такие значения \( п \), при которых это возможно.

---

Шаг 1. Обозначения

• Пусть \( p \) — искомое число.
• Исходная сумма всех чисел от 1 до \( p \) — это арифметическая прогрессия: \[ \text{Sum} = \frac{p(p + 1)}{2} \]
• Пусть число, которое было добавлено дважды, — это \( x \) (от 1 до \( p \)).

---

Шаг 2. Запишем уравнение

Поскольку при подсчёте суммы ошибочно добавлено число \( x \) дважды, итоговая сумма равна: \[ \frac{p(p + 1)}{2} + x = 960 \]

Следовательно: \[ \frac{p(p + 1)}{2} + x = 960 \] или \[ x = 960 - \frac{p(p + 1)}{2} \]

Так как \( x \) — число, входящее в диапазон \( 1 \leq x \leq p \), нужно проверить:

1. \( x \) — натуральное число;
2. \( 1 \leq x \leq p \).

---

Шаг 3. Выразим неравенства

Из выражения для \( x \): \[ 1 \leq 960 - \frac{p(p + 1)}{2} \leq p \]

Это пара неравенств. Рассмотрим их по очереди:

Неравенство 1: \[ 960 - \frac{p(p + 1)}{2} \geq 1 \] \[ 960 - 1 \geq \frac{p(p + 1)}{2} \] \[ 959 \geq \frac{p(p + 1)}{2} \] \[ 2 \times 959 \geq p(p + 1) \] \[ 1918 \geq p(p + 1) \]

Неравенство 2: \[ 960 - \frac{p(p + 1)}{2} \leq p \] \[ 960 - p \leq \frac{p(p + 1)}{2} \]

---

Шаг 4. Решим неравенство для \( p \)

Обозначим: \[ p(p + 1) \leq 1918 \quad \Rightarrow \quad p^2 + p \leq 1918 \]

Найдовший корень квадратного неравенства: \[ p^2 + p - 1918 \leq 0 \]

Решим уравнение: \[ p^2 + p - 1918 = 0 \] по формуле квадратного уравнения: \[ p = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \times 1 \times (-1918)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 7672}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7673}}{2} \]

Приблизительно: \[ \sqrt{7673} \approx 87.56 \]

Тогда: \[ p \approx \frac{-1 + 87.56}{2} \approx \frac{86.56}{2} \approx 43.28 \]

Поскольку \( p \) — натуральное число, то: \[ p \leq 43 \]

---

Шаг 5. Проверка верхней границы \( p \leq 43 \)

Также, для неравенства: \[ 960 - p \leq \frac{p(p + 1)}{2} \] подставим предполагаемые значения \( p \).

Перепишем: \[ \frac{p(p + 1)}{2} \geq 960 - p \] умножим обе части на 2: \[ p(p + 1) \geq 1920 - 2p \] Переносим все в левую часть: \[ p^2 + p + 2p - 1920 \geq 0 \] \[ p^2 + 3p - 1920 \geq 0 \]

Решим квадратное неравенство: \[ p^2 + 3p - 1920 \geq 0 \] корень: \[ p = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \times 1 \times (-1920)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 7680}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{7689}}{2} \]

Приблизительно: \[ \sqrt{7689} \approx 87.67 \]

тогда: \[ p \approx \frac{-3 + 87.67}{2} \approx \frac{84.67}{2} \approx 42.33 \]

Поскольку \( p \) — целое, то: \[ p \geq 43 \]

Объединим оба ограничения:
\[ p \leq 43 \quad \text{и} \quad p \geq 43 \] Значит, единственное возможное значение \( p \) — это 43.

---

Шаг 6. Проверка \( p = 43 \)

Подставим в выражение для \( x \): \[ x = 960 - \frac{43 \times 44}{2} \]

Вычислим сумму от 1 до 43: \[ \frac{43 \times 44}{2} = \frac{1892}{2} = 946 \]

Тогда:

\[ x = 960 - 946 = 14 \]

Проверим, входит ли \( x \) в диапазон \( 1 \leq x \leq p \): \[ 1 \leq 14 \leq 43 \] Верно.

Также, \( x = 14 \) — натуральное число, входит в диапазон.

---

Ответ:

\( p = 43 \)

---

Заключение: Наиболее подходящий и единственный кандидат — это \( p = 43 \).
При этом \( x = 14 \), что подтверждает правильность.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужен список всех возможных вариантов для других \( p \), сообщайте!