Давайте подробно решим задачу.
Задача:
Толя выписал все натуральные числа от 1 до п и сложил их, получив сумму ( S ). Однако он случайно добавил одно из чисел дважды, в результате получив сумму ( 960 ). Требуется найти такие значения ( п ), при которых это возможно.
Шаг 1. Обозначения
- Пусть ( p ) — искомое число.
- Исходная сумма всех чисел от 1 до ( p ) — это арифметическая прогрессия:
[
\text{Sum} = \frac{p(p + 1)}{2}
]
- Пусть число, которое было добавлено дважды, — это ( x ) (от 1 до ( p )).
Шаг 2. Запишем уравнение
Поскольку при подсчёте суммы ошибочно добавлено число ( x ) дважды, итоговая сумма равна:
[
\frac{p(p + 1)}{2} + x = 960
]
Следовательно:
[
\frac{p(p + 1)}{2} + x = 960
]
или
[
x = 960 - \frac{p(p + 1)}{2}
]
Так как ( x ) — число, входящее в диапазон ( 1 \leq x \leq p ), нужно проверить:
- ( x ) — натуральное число;
- ( 1 \leq x \leq p ).
Шаг 3. Выразим неравенства
Из выражения для ( x ):
[
1 \leq 960 - \frac{p(p + 1)}{2} \leq p
]
Это пара неравенств. Рассмотрим их по очереди:
Неравенство 1:
[
960 - \frac{p(p + 1)}{2} \geq 1
]
[
960 - 1 \geq \frac{p(p + 1)}{2}
]
[
959 \geq \frac{p(p + 1)}{2}
]
[
2 \times 959 \geq p(p + 1)
]
[
1918 \geq p(p + 1)
]
Неравенство 2:
[
960 - \frac{p(p + 1)}{2} \leq p
]
[
960 - p \leq \frac{p(p + 1)}{2}
]
Шаг 4. Решим неравенство для ( p )
Обозначим:
[
p(p + 1) \leq 1918 \quad \Rightarrow \quad p^2 + p \leq 1918
]
Найдовший корень квадратного неравенства:
[
p^2 + p - 1918 \leq 0
]
Решим уравнение:
[
p^2 + p - 1918 = 0
]
по формуле квадратного уравнения:
[
p = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \times 1 \times (-1918)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 7672}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7673}}{2}
]
Приблизительно:
[
\sqrt{7673} \approx 87.56
]
Тогда:
[
p \approx \frac{-1 + 87.56}{2} \approx \frac{86.56}{2} \approx 43.28
]
Поскольку ( p ) — натуральное число, то:
[
p \leq 43
]
Шаг 5. Проверка верхней границы ( p \leq 43 )
Также, для неравенства:
[
960 - p \leq \frac{p(p + 1)}{2}
]
подставим предполагаемые значения ( p ).
Перепишем:
[
\frac{p(p + 1)}{2} \geq 960 - p
]
умножим обе части на 2:
[
p(p + 1) \geq 1920 - 2p
]
Переносим все в левую часть:
[
p^2 + p + 2p - 1920 \geq 0
]
[
p^2 + 3p - 1920 \geq 0
]
Решим квадратное неравенство:
[
p^2 + 3p - 1920 \geq 0
]
корень:
[
p = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \times 1 \times (-1920)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 7680}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{7689}}{2}
]
Приблизительно:
[
\sqrt{7689} \approx 87.67
]
тогда:
[
p \approx \frac{-3 + 87.67}{2} \approx \frac{84.67}{2} \approx 42.33
]
Поскольку ( p ) — целое, то:
[
p \geq 43
]
Объединим оба ограничения:
[
p \leq 43 \quad \text{и} \quad p \geq 43
]
Значит, единственное возможное значение ( p ) — это 43.
Шаг 6. Проверка ( p = 43 )
Подставим в выражение для ( x ):
[
x = 960 - \frac{43 \times 44}{2}
]
Вычислим сумму от 1 до 43:
[
\frac{43 \times 44}{2} = \frac{1892}{2} = 946
]
Тогда:
[
x = 960 - 946 = 14
]
Проверим, входит ли ( x ) в диапазон ( 1 \leq x \leq p ):
[
1 \leq 14 \leq 43
]
Верно.
Также, ( x = 14 ) — натуральное число, входит в диапазон.
Ответ:
( p = 43 )
Заключение:
Наиболее подходящий и единственный кандидат — это ( p = 43 ).
При этом ( x = 14 ), что подтверждает правильность.
Если есть дополнительные вопросы или нужен список всех возможных вариантов для других ( p ), сообщайте!
