Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см. Nº

Рассмотрим задачу, где у нас есть окружность с центром О и радиусом 5 см, точка М вне окружности, из которой проведены две касательные к окружности. Известно, что длина отрезка ОМ равна 10 см. Нужно найти угол между этими касательными. Обозначим: - О — центр окружности - М — точка, из которой проведены касательные - R = 5 см — радиус окружности - OM = 10 см **Шаг 1: Построение чертежа** - Проведена окружность с центром О. - В точке М снаружи окружности проведены две касательные к окружности, они касаются окружности в точках А и В. - Эти касательные образуют угол между собой, который нужно найти. **Шаг 2: Свойства касательных к окружности** - Касательные из одной точки к окружности равны по длине. - Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной по определению касательной. Обозначим точки касания: А и В. --- **Шаг 3: Построение линий и треугольников** - Соединяем точки А и В с О. - Точки А и В — точки касания. - В треугольнике OAM и OBM углы при М равны 90°, потому что радиус перпендикулярен касательной в точке касания. --- **Шаг 4: Важные свойства** - Точки А и В лежат на окружности. - OA = OB = R = 5 см. Поскольку М лежит вне окружности, и ОМ =10 см, треугольники OAM и OBМ — равны по сторонам, где: - OM — общая сторона (10 см) - OA и OB — радиусы окружности (по 5 см) --- **Шаг 5: Вспомогательный треугольник** Рассмотрим треугольник ОМ с точками касания. Важный факт: от точки М к точкам касания проведены касательные, и они равны по длине. Обозначим длину касательной: \(t\) --- **Шаг 6: Формулы** Из свойства касательных и треугольника: \[ $t = \sqrt{OM^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] Это длина касательной от точки М до точек А и В. --- **Шаг 7: Рассмотрение треугольника МО и касания** Рассмотрим треугольник АМО и БМО. Где: - OM = 10 см - OA = OB = 5 см - OM — внешняя точка, касательная длина — \(t = 5\sqrt{3}\) Рассмотрим треугольник OMA: - В нем есть угол между двумя касательными, который равен искомому углу между касательными. --- **Шаг 8: Используем свойства** Угол между касательными точки М, который нужно найти, равен двойному углу между радиусами, проведёнными в точки касания: \[ \angle AOB = 2\alpha \] где \(\alpha\) — угол между радиусом и касательной. Для определения \(\alpha\), можно использовать тригонометрию: \[ \sin \alpha = \frac{R}{OM} = \frac{5}{10} = 0.5 \] Отсюда: \[ \alpha = \arcsin 0.5 = 30^\circ \] Исходя из этого, угол между касательными равен: \[ \angle AOB = 2\alpha = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \] --- **Ответ:** **Угол между касательными равен 60 градусам.** --- Если нужна более подробная схема или дополнительные объяснения, могу подготовить их!