Реши уравнение

Давайте подробно разберем это уравнение и найдем его решение. На изображении представлено уравнение: \[ \frac{60}{x+2} + 1 = \frac{60}{x} \] **Шаг 1. Приведем уравнение к общему виду** Выражение выглядит так: \[ \frac{60}{x+2} + 1 = \frac{60}{x} \] Чтобы избавиться от дробей, домножим все уравнение на наименьший общий знаменатель – это произведение знаменателей \(x(x+2)\). **Шаг 2. Умножим обе части уравнения на \(x(x+2)\):** \[ x(x+2) \times \left(\frac{60}{x+2} + 1 \right) = x(x+2) \times \frac{60}{x} \] Раскроем каждое произведение: \[ x(x+2) \times \frac{60}{x+2} + x(x+2) \times 1 = x(x+2) \times \frac{60}{x} \] Обратите внимание, что при умножении на дроби числитель и знаменатель сокращаются: - В первом члене \(x+2\) сокращается, остается 60×x - Во втором члене умножение на 1: остается \(x(x+2)\) - В третьем члене \(x\) сокращается, остается \(60(x+2)\) Итак, получаем: \[ 60x + x(x+2) = 60(x+2) \] **Шаг 3. Раскроем скобки:** \[ 60x + (x^2 + 2x) = 60x + 120 \] Объединим подобные члены: \[ 60x + x^2 + 2x = 60x + 120 \] Слева: \(60x + 2x = 62x\) Итак: \[ x^2 + 62x = 60x + 120 \] **Шаг 4. Перенесем все в левую сторону:** \[ x^2 + 62x - 60x - 120 = 0 \] Сократим подобные: \[ x^2 + 2x - 120 = 0 \] Это квадратное уравнение. **Шаг 5. Решение квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 120 = 0\):** Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-120) = 4 + 480 = 484 \] Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} \] Корень из 484 – 22: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 22}{2} \] - Первый корень: \[ x_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] - Второй корень: \[ x_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \] **Шаг 6. Проверка и заключение:** Проверим, не является ли какой-либо из корней недопустимым — например, делением на ноль. Дроби содержат \(x\) и \(x+2\) в знаменателях, значит: - \(x \neq 0\) - \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\) Наши корни: \(x=10\) и \(x=-12\), оба подходят, так как не равны -2 или 0. **Ответ:** \[ \boxed{ x = 10 \quad \text{или} \quad x = -12 } \] Если есть еще вопросы — обращайтесь!