Реши уравнение

Давайте подробно разберем это уравнение и найдем его решение.

На изображении представлено уравнение:

\[ \frac{60}{x+2} + 1 = \frac{60}{x} \]

Шаг 1. Приведем уравнение к общему виду

Выражение выглядит так: \[ \frac{60}{x+2} + 1 = \frac{60}{x} \]

Чтобы избавиться от дробей, домножим все уравнение на наименьший общий знаменатель – это произведение знаменателей \(x(x+2)\).

Шаг 2. Умножим обе части уравнения на \(x(x+2)\):

\[ x(x+2) \times \left(\frac{60}{x+2} + 1 \right) = x(x+2) \times \frac{60}{x} \]

Раскроем каждое произведение:

\[ x(x+2) \times \frac{60}{x+2} + x(x+2) \times 1 = x(x+2) \times \frac{60}{x} \]

Обратите внимание, что при умножении на дроби числитель и знаменатель сокращаются:

• В первом члене \(x+2\) сокращается, остается 60×x
• Во втором члене умножение на 1: остается \(x(x+2)\)
• В третьем члене \(x\) сокращается, остается \(60(x+2)\)

Итак, получаем:

\[ 60x + x(x+2) = 60(x+2) \]

Шаг 3. Раскроем скобки:

\[ 60x + (x^2 + 2x) = 60x + 120 \]

Объединим подобные члены:

\[ 60x + x^2 + 2x = 60x + 120 \]

Слева: \(60x + 2x = 62x\)

Итак:

\[ x^2 + 62x = 60x + 120 \]

Шаг 4. Перенесем все в левую сторону:

\[ x^2 + 62x - 60x - 120 = 0 \]

Сократим подобные:

\[ x^2 + 2x - 120 = 0 \]

Это квадратное уравнение.

Шаг 5. Решение квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 120 = 0\):

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-120) = 4 + 480 = 484 \]

Найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2} \]

Корень из 484 – 22:

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 22}{2} \]

• Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

• Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Шаг 6. Проверка и заключение:

Проверим, не является ли какой-либо из корней недопустимым — например, делением на ноль.

Дроби содержат \(x\) и \(x+2\) в знаменателях, значит:

• \(x \neq 0\)
• \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)

Наши корни: \(x=10\) и \(x=-12\), оба подходят, так как не равны -2 или 0.

Ответ:
\[ \boxed{ x = 10 \quad \text{или} \quad x = -12 } \]

Если есть еще вопросы — обращайтесь!