Примеры логарифмических неравенств для самостоятельного решения: 1) log2 x < 3 2) lg(x + 1) ≤2 3) log2(x-3) + log2(x − 2) ≤ 1 4) logi(x-2)+ log1(12 − x) ≥ 2 5) logo.5(2x+6) ≥ logo.5(x+8)

Давайте рассмотрим каждое из приведённых неравенств и подробно разберём, как их решать. Так как цель — понять, я подготовлю объяснения пошагово и доступно. В случае необходимости я уточню, что означает каждая запись. --- ### 1) \(\log_2 x < 3\) **Шаг 1:** Понимание условий логарифма Логарифм \(\log_2 x\) определён только для \(x > 0\). **Шаг 2:** Перепишем неравенство в экспоненциальной форме Значение \(\log_2 x < 3\) эквивалентно \[x < 2^3\] **Шаг 3:** Вычисление \[x < 8\] **Шаг 4:** Учитываем область определения \(x > 0\). Итак, решением является: \[ \boxed{ x \in (0, 8) } \] --- ### 2) \(\lg(x + 1) \le 2\) Здесь \(\lg\) — десятичный логарифм, то есть \(\log_{10}\). **Шаг 1:** Условие определения \(\lg(x+1)\) — внутри логарифма > 0 \[ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \] **Шаг 2:** Перепишем неравенство в экспоненциальной форме \[ \lg(x + 1) \le 2 \] \[ x + 1 \le 10^2 \] \[ x + 1 \le 100 \] **Шаг 3:** Решаем неравенство \[ x \le 99 \] **Шаг 4:** Итоговая область определения — пересечение с условием \(x > -1\) **Ответ:** \[ \boxed{ x \in (-1, 99] } \] --- ### 3) \(\log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) \le 1\) **Шаг 1:** Условие определённости \[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] \[ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \] Область определения — \(x > 3\). **Шаг 2:** Объединим логарифмы через свойство суммы: \[ \log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) = \log_2[(x - 3)(x - 2)] \] **Шаг 3:** Перепишем неравенство: \[ \log_2[(x - 3)(x - 2)] \le 1 \] **Шаг 4:** Переводим из логарифма в экспоненциальную форму: \[ (x - 3)(x - 2) \le 2^1 = 2 \] **Шаг 5:** Раскроем скобки и решим неравенство: \[ (x - 3)(x - 2) \le 2 \] \[ x^2 - 5x + 6 \le 2 \] Переносим 2 в левый поток: \[ x^2 - 5x + 6 - 2 \le 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 \le 0 \] **Шаг 6:** Решим квадратное неравенство Находим корни: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] **Шаг 7:** Поскольку квадратное выражение — парабола, открытая вверх, неравенство \(\le 0\) выполняется на интервале внутри корней: \[ x \in [1, 4] \] **Шаг 8:** Учитываем область определения \(x > 3\), то есть пересекаем с \([1, 4]\): \[ x \in (3, 4] \] **Ответ:** \[ \boxed{ x \in (3, 4] } \] --- ### 4) \( \log_i(x - 2) + \log_1(12 - x) \ge 2 \) Здесь есть подсказки: - \(\log_i(x - 2)\) — логарифм по основанию \(i\), вероятно, это опечатка, или чёрный юмор. - \(\log_1(12 - x)\) — логарифм по основанию 1 — неопределен, так как \(\log_1\) не существует. Рассмотрим внимательно: - Обычно в заданиях идут \(\log_a\) с \(a > 0, a \neq 1\). - Если в задаче есть \(\log_i\), возможно, это буква, означающая "неуказанный вообще" или опечатка. **Пошагово:** Поскольку неясно, что означает \(i\) или \(\log_1\), предположим, что это опечатки и правильное задание — \(\log_{i}(x - 2)\) или что-то подобное. Или это часть задачи, обозначающая нераспознанное основание. **Обратите внимание:** - Логарифм по основанию 1 — не существует, так что это, скорее всего, ошибка. - Также возможна интерпретация, что это комплексные логарифмы или шутка. Если не рассматривать это, то я бы посоветовал уточнить у преподавателя. --- ### 5) \( \log_{0.5}(2x+6) \ge \log_{0.5}(x+8) \) **Шаг 1:** Условие на логарифмы: \[ 2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3 \] \[ x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8 \] Область определения: \(x > -3\) **Шаг 2:** Уравнение — сравнение логарифмов с одинаковым основанием, но основание \(0.5\) — менее 1. При этом для оснований \((0,1)\): Функция \(\log_{a} y\) — убывающая в \(y\). Поэтому, неравенство \[ \log_{0.5}(2x+6) \ge \log_{0.5}(x+8) \] эквивалентно \[ 2x + 6 \le x + 8 \] (так как \(\log_a y\) убывает, неравенство меняет знак при обеих частях). **Шаг 3:** Решаем простое неравенство: \[ 2x + 6 \le x + 8 \] \[ 2x - x \le 8 - 6 \] \[ x \le 2 \] **Шаг 4:** Учитываем условие области \(\quad x > -3\). В итоге, решение — пересечение: \[ x \in (-3, 2] \] --- ## Итоговая схема для понимания: - Область определения — это все \(x\), при которых логарифмы существуют. - Переписываем логарифмы в показательный вид или через свойства. - Решаем полученное неравенство в стандартной форме. - Учитываем особенности основания логарифма: если основание меньше 1, то неравенство меняет знак. Если нужно более подробно по любому из пунктов или есть изображения — присылайте, помогу! --- Если есть дополнительные вопросы или нужно разобрать какую-либо задачу подробнее — обращайтесь!