Примеры логарифмических неравенств для самостоятельного решения: 1) log2 x < 3 2) lg(x + 1) ≤2 3) log2(x-3) + log2(x − 2) ≤ 1 4) logi(x-2)+ log1(12 − x) ≥ 2 5) logo.5(2x+6) ≥…

Давайте рассмотрим каждое из приведённых неравенств и подробно разберём, как их решать. Так как цель — понять, я подготовлю объяснения пошагово и доступно. В случае необходимости я уточню, что означает каждая запись.

---

1) \(\log_2 x < 3\)

Шаг 1: Понимание условий логарифма
Логарифм \(\log_2 x\) определён только для \(x > 0\).

Шаг 2: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме
Значение \(\log_2 x < 3\) эквивалентно
\[x < 2^3\]

Шаг 3: Вычисление
\[x < 8\]

Шаг 4: Учитываем область определения
\(x > 0\).
Итак, решением является:
\[ \boxed{ x \in (0, 8) } \]

---

2) \(\lg(x + 1) \le 2\)

Здесь \(\lg\) — десятичный логарифм, то есть \(\log_{10}\).

Шаг 1: Условие определения \(\lg(x+1)\) — внутри логарифма > 0
\[ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \]

Шаг 2: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме
\[ \lg(x + 1) \le 2 \] \[ x + 1 \le 10^2 \] \[ x + 1 \le 100 \]

Шаг 3: Решаем неравенство
\[ x \le 99 \]

Шаг 4: Итоговая область определения — пересечение с условием \(x > -1\)

Ответ: \[ \boxed{ x \in (-1, 99] } \]

---

3) \(\log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) \le 1\)

Шаг 1: Условие определённости
\[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] \[ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \]

Область определения — \(x > 3\).

Шаг 2: Объединим логарифмы через свойство суммы:
\[ \log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) = \log_2[(x - 3)(x - 2)] \]

Шаг 3: Перепишем неравенство:
\[ \log_2[(x - 3)(x - 2)] \le 1 \]

Шаг 4: Переводим из логарифма в экспоненциальную форму:
\[ (x - 3)(x - 2) \le 2^1 = 2 \]

Шаг 5: Раскроем скобки и решим неравенство:
\[ (x - 3)(x - 2) \le 2 \] \[ x^2 - 5x + 6 \le 2 \]

Переносим 2 в левый поток:
\[ x^2 - 5x + 6 - 2 \le 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 \le 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное неравенство
Находим корни:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Корни:
\[ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]

Шаг 7: Поскольку квадратное выражение — парабола, открытая вверх, неравенство \(\le 0\) выполняется на интервале внутри корней:
\[ x \in [1, 4] \]

Шаг 8: Учитываем область определения \(x > 3\), то есть пересекаем с \([1, 4]\):
\[ x \in (3, 4] \]

Ответ: \[ \boxed{ x \in (3, 4] } \]

---

4) \( \log_i(x - 2) + \log_1(12 - x) \ge 2 \)

Здесь есть подсказки:

• \(\log_i(x - 2)\) — логарифм по основанию \(i\), вероятно, это опечатка, или чёрный юмор.
• \(\log_1(12 - x)\) — логарифм по основанию 1 — неопределен, так как \(\log_1\) не существует.

Рассмотрим внимательно:

• Обычно в заданиях идут \(\log_a\) с \(a > 0, a \neq 1\).
• Если в задаче есть \(\log_i\), возможно, это буква, означающая "неуказанный вообще" или опечатка.

Пошагово:
Поскольку неясно, что означает \(i\) или \(\log_1\), предположим, что это опечатки и правильное задание — \(\log_{i}(x - 2)\) или что-то подобное.
Или это часть задачи, обозначающая нераспознанное основание.

Обратите внимание:

• Логарифм по основанию 1 — не существует, так что это, скорее всего, ошибка.
• Также возможна интерпретация, что это комплексные логарифмы или шутка.

Если не рассматривать это, то я бы посоветовал уточнить у преподавателя.

---

5) \( \log_{0.5}(2x+6) \ge \log_{0.5}(x+8) \)

Шаг 1: Условие на логарифмы:
\[ 2x + 6 > 0 \Rightarrow x > -3 \] \[ x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8 \]

Область определения: \(x > -3\)

Шаг 2: Уравнение — сравнение логарифмов с одинаковым основанием, но основание \(0.5\) — менее 1.
При этом для оснований \((0,1)\):

Функция \(\log_{a} y\) — убывающая в \(y\).
Поэтому, неравенство
\[ \log_{0.5}(2x+6) \ge \log_{0.5}(x+8) \] эквивалентно
\[ 2x + 6 \le x + 8 \] (так как \(\log_a y\) убывает, неравенство меняет знак при обеих частях).

Шаг 3: Решаем простое неравенство:
\[ 2x + 6 \le x + 8 \] \[ 2x - x \le 8 - 6 \] \[ x \le 2 \]

Шаг 4: Учитываем условие области \(\quad x > -3\).

В итоге, решение — пересечение:

\[ x \in (-3, 2] \]

---

Итоговая схема для понимания:

• Область определения — это все \(x\), при которых логарифмы существуют.
• Переписываем логарифмы в показательный вид или через свойства.
• Решаем полученное неравенство в стандартной форме.
• Учитываем особенности основания логарифма: если основание меньше 1, то неравенство меняет знак.

Если нужно более подробно по любому из пунктов или есть изображения — присылайте, помогу!

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно разобрать какую-либо задачу подробнее — обращайтесь!