Для решения этой задачи воспользуемся китайской теоремой об остатках. Пусть x - задуманное Ваней число. Из условия задачи известно, что x ≡ a (mod 4), x ≡ b (mod 5) и x ≡ c (mod 9), где a,b,c - остатки при делении на 4, 5 и 9 соответственно. Из суммы остатков, полученной после деления на 4, 5 и 9, следует, что a + b + c ≡ 15 (mod 15). Остаток должен быть в пределах от 0 до 14, так как мы рассматриваем остатки при делении на 15. Из данного уравнения видно, что сумма остатков a + b + c может принимать значения от 0 до 14. Таким образом, каждая сумма остатков дает нам один из чисел от 0 до 14 при делении на 15. Ответ: Остаток, который дает задуманное Ваней число при делении на 15, может быть любым числом от 0 до 14.