В коробке 10 гвоздик-5 белых и 5 красных. Продавщица цветочного киоска вынимает 6 случайных гвоздик из , чтобы украсить ими ветрину. С какой вероятностью в коробке останется 1…

Давайте решим задачу поэтапно, чтобы понять, какая вероятность того, что после случайного выбора 6 гвоздик в коробке останется 1 красная и 3 белых.

Общая ситуация:

• В коробке: 10 гвоздик
  • 5 белых
  • 5 красных
• Выбирается: 6 гвоздик случайным образом без возвращения

Нам нужно найти вероятность того, что после этого выбора в коробке останется именно 1 красная и 3 белых гвоздика.

Шаг 1: Что означает, что "в коробке останется 1 красная и 3 белых"?

Это значит, что из начальных 5 красных гвоздик:

• После выбора в коробке должно остаться 1 красная → было выбрано 4 красных гвоздика

Из начальных 5 белых:

• После выбора в коробке должно остаться 3 белых → было выбрано 2 белых гвоздика

Остальные выбранные гвоздики: всего 6 минус 4 красных и 2 белых = 0, правильнее сказать, что выбранные: 4 красных + 2 белых = 6.

Шаг 2: Проверка логики

• Всего выбрано 6 гвоздик:
  • Выбрано: 4 красных, 2 белых
• После этого в коробке осталось:
  • Красных: 5 - 4 = 1
  • Белых: 5 - 2 = 3

Это соответствует условию задачи.

Шаг 3: Формула вероятности гипергеометрического распределения

Обозначим:

• N = 10 — всего гвоздик
• K = 5 — красных гвоздик в коробке
• n = 6 — выбранных гвоздик
• k = число выбранных красных гвоздик (т.е., 4)

Вероятность того, что из 5 красных выбрано 4, а из 5 белых — 2, вычисляется по формуле гипергеометрического распределения:

\[ P = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} \]

Подставим значения: \[ P = \frac{\binom{5}{4} \cdot \binom{5}{2}}{\binom{10}{6}} \]

Шаг 4: Вычисление биномиальных коэффициентов

\[ \binom{5}{4} = 5 \] \[ \binom{5}{2} = 10 \] \[ \binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Шаг 5: Итоговое вычисление

\[ P = \frac{5 \times 10}{210} = \frac{50}{210} = \frac{5}{21} \]

Ответ:

Вероятность того, что после вытягивания 6 гвоздик в коробке останется 1 красный и 3 белых, равна \(\frac{5}{21}\).