Давайте решим задачу поэтапно, чтобы понять, какая вероятность того, что после случайного выбора 6 гвоздик в коробке останется 1 красная и 3 белых.
Общая ситуация:
- В коробке: 10 гвоздик
- Выбирается: 6 гвоздик случайным образом без возвращения
Нам нужно найти вероятность того, что после этого выбора в коробке останется именно 1 красная и 3 белых гвоздика.
Шаг 1: Что означает, что "в коробке останется 1 красная и 3 белых"?
Это значит, что из начальных 5 красных гвоздик:
- После выбора в коробке должно остаться 1 красная → было выбрано 4 красных гвоздика
Из начальных 5 белых:
- После выбора в коробке должно остаться 3 белых → было выбрано 2 белых гвоздика
Остальные выбранные гвоздики: всего 6 минус 4 красных и 2 белых = 0, правильнее сказать, что выбранные: 4 красных + 2 белых = 6.
Шаг 2: Проверка логики
- Всего выбрано 6 гвоздик:
- Выбрано: 4 красных, 2 белых
- После этого в коробке осталось:
- Красных: 5 - 4 = 1
- Белых: 5 - 2 = 3
Это соответствует условию задачи.
Шаг 3: Формула вероятности гипергеометрического распределения
Обозначим:
- N = 10 — всего гвоздик
- K = 5 — красных гвоздик в коробке
- n = 6 — выбранных гвоздик
- k = число выбранных красных гвоздик (т.е., 4)
Вероятность того, что из 5 красных выбрано 4, а из 5 белых — 2, вычисляется по формуле гипергеометрического распределения:
[
P = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}
]
Подставим значения:
[
P = \frac{\binom{5}{4} \cdot \binom{5}{2}}{\binom{10}{6}}
]
Шаг 4: Вычисление биномиальных коэффициентов
[
\binom{5}{4} = 5
]
[
\binom{5}{2} = 10
]
[
\binom{10}{6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Шаг 5: Итоговое вычисление
[
P = \frac{5 \times 10}{210} = \frac{50}{210} = \frac{5}{21}
]
Ответ:
Вероятность того, что после вытягивания 6 гвоздик в коробке останется 1 красный и 3 белых, равна (\frac{5}{21}).
