Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М . Через точку М проведены две касательные к окружности Найдите угол между ними , если ОМ 10с

Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом. **Дано:** - Центр окружности — O - Радиус окружности — R = 5 см - Точка — М, которая находится вне окружности - OT — касательные к окружности, проведённые из точки М - OM = 10 см **Требуется:** Найти угол между двумя касательными линиями, проведёнными из точки М к окружности. --- ### Шаг 1. Построение и основные свойства Пусть из точки М проведены две касательные к окружности, касательные касаются её в точках А и В соответственно. Касательные из одной точки к окружности равны по длине. Также известно, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть: - OA ⟂ PA - OB ⟂ PB где A и B — точки касания. --- ### Шаг 2. Построение радиусов и касательных Соединяем: - OM — от центра окружности к внешней точке М (дано 10 см) - Радиусы OA и OB — от центра O к точкам касания A и B Обозначим: - угол между касательными (что нам нужно найти) — ∠AOB --- ### Шаг 3. Свойства касательных и радиусов Так как OA и OB — радиусы, касающиеся окружности в точках A и B, и касательные из одной точки равны, то: - Отрезки MA и MB — касательные из точки М к окружности и они равны: |MA| = |MB| Из условию также: - |OM| = 10 см - Радиус R = 5 см --- ### Шаг 4. Связь между OM и радиусами Рассмотрим треугольник OMA: - OМ — 10 см - R (OA) — 5 см Построим треугольник OMA и отметим, что: - OA — радиус, проведённый к точке касания. Поскольку OA ⟂ касательной в точке A, ∠OАМ — это угол между линией OM и радиусом OA, соединяющим центр с точкой касания. --- ### Шаг 5. Использование теоремы о разграничении Рассмотрим треугольник OMA: - OМ — гипотенуза - OA — один из катетов, равный 5 см - ∠OMA — угол между OM и OA. Касательная из точки М равна, а радиус перпендикулярен касательной. Поэтому треугольник OMA является прямоугольным, где угол при A равен 90°, а угол при M — ∠ОМА. Тем не менее, важно понять, что касательные из точки М образуют равные углы с линиями, соединяющими М с точками касания. --- ### Шаг 6. Использование свойства о равных касательных Рассмотрим треугольник OMP, где: - соединение O — центр окружности - OМ — 10 см - R — радиус 5 см Касательные из точки М к окружности равны, а значит, треугольники OAP и OBP — равны по признакам. Угол между касательными — это угол между линиями, проведёнными из М к точкам касания — A и B. --- ### Шаг 7. Находим угол между касательными Из построения треугольника OМA рассчитаем угол ∠OMO', где O' — точка касания. Используем треугольник OMA: - O М = 10 см - R = 5 см - Прямой угол в точке касания (OA ⟂ касательной) Рассмотрим треугольник OMA — он не прямой, но мы можем разобрать отношение между сторонами и углами. --- ### Шаг 8. Геометрическая идея — угол между касательными Известно, что угол между двумя касательными, проведёнными из внешней точки к окружности, равен **углу между радиусами к точкам касания**, то есть ∠AOB. Следовательно, чтобы найти угол между касательными, нужно найти ∠AOB. --- ### Шаг 9. Использование формулы для угла AOB Рассмотрим треугольник OMA: - OМ — отрезок из центра к внешней точке - R — радиус Рассмотрим треугольник OMA и применим теорему косинусов к треугольнику OAM: \[ \cos \angle AOM = \frac{OA^2 + OM^2 - AM^2}{2 \cdot OA \cdot OM} \] Но необходимо знать длину касательной (AM), которая равна: \[ AM = \sqrt{OM^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] --- ### Шаг 10. Расчёт угла ∠AOB Вспоминая, что угол между двумя касательными равен угол между радиусами AOB, и воспользуемся формулой: \[ \cos \angle AOB = \frac{R^2 + R^2 - d^2}{2 R^2} \] где: - d — расстояние между точками касания A и B, которое можно найти через расстояние OM и радиус R. Однако в данном случае проще использовать геометрическую связь, а именно, что угол между касательными равен: \[ \angle \text{между касательными} = 2 \arcsin \frac{R}{OM} \] Поскольку касательные из внешней точки образуют угол, который равен: \[ \theta = 2 \arcsin \frac{R}{OM} \] --- ### Шаг 11. Итоговое вычисление Подставляем: \[ \theta = 2 \arcsin \frac{5}{10} = 2 \arcsin 0.5 \] Значение: \[ \arcsin 0.5 = 30^\circ \] Следовательно, \[ \boxed{ \theta = 2 \times 30^\circ = 60^\circ } \] --- ## Ответ: **Угол между двумя касательными равен 60°.**