Площадь прямоугольного треугольника равна 98 корень из 3 делить на 3. Один из острых углов равен 60. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Давайте решим задачу шаг за шагом. **Дано:** - Площадь прямоугольного треугольника: \( S = \frac{98 \sqrt{3}}{3} \) - Один из острых углов равен \( 60^\circ \) - Требуется найти длину катета, лежащего напротив этого угла (обозначим его как \( a \)). --- ### Шаг 1: Обозначение сторон и углов Обозначим стороны треугольника: - \( a \) — катет, который лежит напротив угла \( 60^\circ \) (это искомый). - \( b \) — другой катет. - \( c \) — гипотенуза. Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов — \( 90^\circ \), то если один острый угол — \( 60^\circ \), то другой — \( 30^\circ \). **Итого:** - Угол \( A = 60^\circ \), противоположный катету \( a \). - Угол \( B = 30^\circ \), противоположный катету \( b \). --- ### Шаг 2: Связь сторон с углами В прямоугольном треугольнике стороны связаны с углами через тригонометрические функции: - \( a = c \sin 60^\circ \) - \( b = c \sin 30^\circ \) или - \( a = c \cos 30^\circ \) (так как катет напротив \( 60^\circ \) — это сумма, но проще взять через синусы). Наиболее удобно использовать соотношение сторон для \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \): - \( a = c \sin 60^\circ \) - \( b = c \sin 30^\circ \) Или через соотношения стандартных треугольников: - В 30-60-90 треугольнике: \[ \text{Гипотенуза} = 2 \times \text{Малый катет} \quad (\text{при }30^\circ), \] и \[ a = \sqrt{3} \times \text{Малый катет}. \] Но лучше использовать отношения: \[ a = c \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ b = c \sin 30^\circ = c \times \frac{1}{2}. \] --- ### Шаг 3: Выразим стороны через гипотенузу Нам нужна сторона \( a \): \[ a = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] Также, зная, что площадь треугольника равна \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, \] подставляем: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b. \] Выразим из этого \( b \): \[ b = \frac{2S}{a}. \] Но через гипотенузу: \[ b = c \times \frac{1}{2}, \] следовательно, \[ c = 2b. \] --- ### Шаг 4: Использование формулы площади Подставим выражения для \( a \) и \( b \): \[ a = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ b = c \times \frac{1}{2}. \] Тогда: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times \left( c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \left( c \times \frac{1}{2} \right). \] Упростим: \[ S = \frac{1}{2} \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times c \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times c^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}. \] Перемножимчисла: \[ S = \frac{1}{2} \times c^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = c^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{4}. \] Общий множитель: \( \frac{\sqrt{3}}{8} \). Итак, \[ S = c^2 \times \frac{\sqrt{3}}{8}. \] --- ### Шаг 5: Решение для \( c \) Зная, что \( S = \frac{98 \sqrt{3}}{3} \), подставляем: \[ \frac{98 \sqrt{3}}{3} = c^2 \times \frac{\sqrt{3}}{8}. \] Рассчитаем \( c^2 \): \[ c^2 = \frac{98 \sqrt{3}}{3} \times \frac{8}{\sqrt{3}}. \] Сократим \( \sqrt{3} \): \[ c^2 = \frac{98 \times 8}{3} = \frac{784}{3}. \] Следовательно, \[ c = \sqrt{\frac{784}{3}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{3}}. \] Значение \( \sqrt{784} \): \[ \sqrt{784} = 28. \] Тогда: \[ c = \frac{28}{\sqrt{3}}. \] Для удобства выразим через рационализацию: \[ c = \frac{28}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{28\sqrt{3}}{3}. \] --- ### Шаг 6: Найти искомый катет \( a \) Помним: \[ a = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Подставляем найденное \( c \): \[ a = \frac{28\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Перемножим числители и знаменатели: \[ a = \frac{28\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3 \times 2} = \frac{28 \times 3}{6} = \frac{84}{6} = 14. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{14} \] Длина катета, лежащего напротив угла \( 60^\circ \), равна **14**.