Допустим, задуманное число, которое Ваня разделил на 4, 5 и 9 и получил остаток, равно N. Тогда можно записать следующие уравнения: N ≡ a (mod 4), N ≡ b (mod 5), N ≡ c (mod 9), где a, b и c - соответствующие остатки. Мы знаем, что сумма остатков равна 15, поэтому a + b + c = 15. Также, исходя из принципа наименьшего общего кратного, можно записать, что N ≡ d (mod 15), где d - искомый остаток. Теперь, чтобы найти значение d, мы можем решить систему уравнений. Подставим первое уравнение во второе и третье: b ≡ N ≡ a (mod 4), c ≡ N ≡ a (mod 5). Тогда получим: b ≡ a ≡ c (mod 4 × 5). Таким образом, мы можем переписать систему уравнений в следующем виде: N ≡ a (mod 4), N ≡ a (mod 5), N ≡ a (mod 4 × 5). Из этой системы уравнений следует, что N должно быть кратно 4 и 5, а значит, кратно 20. Теперь найдем значение d (остаток при делении на 15) из уравнения N ≡ d (mod 15). Так как N кратно 20, то d = 0. Ответ: задуманное Ваней число даёт остаток 0 при делении на 15.