найти экстремума функции. f(x) =(5-4x) e^x
Рассмотрим задачу: найти экстремумы функции \( f(x) = (5 - 4x) e^x \).
Цель — понять, как находить экстремумы для заданной функции, то есть точки локального максимума или минимума.
Шаг 1: Найти первую производную \( f'(x) \)
Функция выглядит как произведение двух функций:
\[ f(x) = u(x) \cdot v(x), \quad \text{где} \quad u(x) = 5 - 4x, \quad v(x) = e^x \]
Применим правило дифференцирования произведения:
\[ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \]
- \( u'(x) = -4 \)
- \( v'(x) = e^x \)
Теперь получаем:
\[ f'(x) = (-4) \cdot e^x + (5 - 4x) \cdot e^x \]
Вынесем \( e^x \):
\[ f'(x) = e^x \left( -4 + 5 - 4x \right) = e^x (1 - 4x) \]
Шаг 2: Найти точки возможных экстремумов — решить уравнение \( f'(x) = 0 \)
\[ e^x (1 - 4x) = 0 \]
Экспоненциальная функция \( e^x \) всегда больше 0, поэтому:
\[ 1 - 4x = 0 \]
откуда
\[ 4x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4} \]
Это — кандидат на экстремум.
Шаг 3: Определить характер экстремума, найти второй производной \( f''(x) \)
Для этого найдём \( f''(x) \). Начинаем с \( f'(x) = e^x (1 - 4x) \).
Применим правило дифференцирования произведения ещё раз:
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}[ e^x (1 - 4x) ] = e^x (1 - 4x) + e^x \frac{d}{dx} (1 - 4x) \]
- \( \frac{d}{dx}(1 - 4x) = -4 \)
Значит:
\[ f''(x) = e^x (1 - 4x) + e^x (-4) = e^x (1 - 4x - 4) = e^x (-3 - 4x) \]
Теперь подставим найденное значение \( x = \frac{1}{4} \):
\[ f''\left(\frac{1}{4}\right) = e^{1/4} \left(-3 - 4 \cdot \frac{1}{4}\right) = e^{1/4} (-3 - 1) = e^{1/4} \cdot (-4) \]
Поскольку \( e^{1/4} > 0 \), то
\[ f''\left(\frac{1}{4}\right) = -4 e^{1/4} < 0 \]
Это значит, что в точке \( x = \frac{1}{4} \) функция достигает локального maxima.
Итог:
- Экстремум есть в точке \( x = \frac{1}{4} \).
- Он — локальный максимум, потому что в этой точке вторая производная отрицательна.
Конечное выражение для максимума
Найдём значение функции в этой точке:
\[ f\left(\frac{1}{4}\right) = \left( 5 - 4 \cdot \frac{1}{4} \right) e^{1/4} = (5 - 1) e^{1/4} = 4 e^{1/4} \]
Ответ:
Точка локального максимума: \( \boxed{\left( \frac{1}{4}, 4 e^{1/4} \right)} \).
