Найти экстремума функции. f(x) =(5-4x) e^x

Рассмотрим задачу: найти экстремумы функции \( f(x) = (5 - 4x) e^x \). Цель — понять, как находить экстремумы для заданной функции, то есть точки локального максимума или минимума. --- ### Шаг 1: Найти первую производную \( f'(x) \) Функция выглядит как произведение двух функций: \[ f(x) = u(x) \cdot v(x), \quad \text{где} \quad u(x) = 5 - 4x, \quad v(x) = e^x \] Применим правило дифференцирования произведения: \[ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \] - \( u'(x) = -4 \) - \( v'(x) = e^x \) Теперь получаем: \[ f'(x) = (-4) \cdot e^x + (5 - 4x) \cdot e^x \] Вынесем \( e^x \): \[ f'(x) = e^x \left( -4 + 5 - 4x \right) = e^x (1 - 4x) \] --- ### Шаг 2: Найти точки возможных экстремумов — решить уравнение \( f'(x) = 0 \) \[ e^x (1 - 4x) = 0 \] Экспоненциальная функция \( e^x \) всегда больше 0, поэтому: \[ 1 - 4x = 0 \] откуда \[ 4x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4} \] Это — кандидат на экстремум. --- ### Шаг 3: Определить характер экстремума, найти второй производной \( f''(x) \) Для этого найдём \( f''(x) \). Начинаем с \( f'(x) = e^x (1 - 4x) \). Применим правило дифференцирования произведения ещё раз: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}[ e^x (1 - 4x) ] = e^x (1 - 4x) + e^x \frac{d}{dx} (1 - 4x) \] - \( \frac{d}{dx}(1 - 4x) = -4 \) Значит: \[ f''(x) = e^x (1 - 4x) + e^x (-4) = e^x (1 - 4x - 4) = e^x (-3 - 4x) \] Теперь подставим найденное значение \( x = \frac{1}{4} \): \[ f''\left(\frac{1}{4}\right) = e^{1/4} \left(-3 - 4 \cdot \frac{1}{4}\right) = e^{1/4} (-3 - 1) = e^{1/4} \cdot (-4) \] Поскольку \( e^{1/4} > 0 \), то \[ f''\left(\frac{1}{4}\right) = -4 e^{1/4} < 0 \] Это значит, что в точке \( x = \frac{1}{4} \) функция достигает **локального maxima**. --- ### Итог: - **Экстремум есть в точке \( x = \frac{1}{4} \).** - Он — **локальный максимум**, потому что в этой точке вторая производная отрицательна. --- ### Конечное выражение для максимума Найдём значение функции в этой точке: \[ f\left(\frac{1}{4}\right) = \left( 5 - 4 \cdot \frac{1}{4} \right) e^{1/4} = (5 - 1) e^{1/4} = 4 e^{1/4} \] --- ### Ответ: **Точка локального максимума:** \( \boxed{\left( \frac{1}{4}, 4 e^{1/4} \right)} \).