напишите уравнение окружности с центром на прямой у=4 и касающиеся оси абсцисс в точке(3;0)
Давайте подробно решим задачу по шагам.
Задача:
Написать уравнение окружности, у которой:
- Центр лежит на прямой \( y = 4 \). То есть, координаты центра имеют вид \( (x_0, 4) \).
- Окружность касается оси абсцисс (оси \( x \)). То есть касание происходит в одной точке, и радиус окружности равен расстоянию от центра до касательной точки.
- Эта касательная точка — \( (3, 0) \).
Шаг 1: Определяем центр окружности
Центр окружности имеет вид:
\[
C(x_0, 4)
\]
Шаг 2: Находим радиус \( R \)
Поскольку окружность касается оси \( x \) в точке \( (3, 0) \), эта точка — точка касания.
Радиус окружности равен расстоянию от центра \( (x_0, 4) \) до точки касания \( (3, 0) \):
\[ R = \text{расстояние между } (x_0, 4) \text{ и } (3, 0) \]
Используем формулу расстояния между точками:
\[
R = \sqrt{(3 - x_0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(3 - x_0)^2 + 16}
\]
Шаг 3: Условие касания
Поскольку точка \( (3, 0) \) — точка касания, она должна лежать на окружности. Тогда уравнение окружности:
\[ \text{Оно задается как:} \quad (x - x_0)^2 + (y - 4)^2 = R^2 \]
Подставим точку касания \( (3, 0) \):
\[ (3 - x_0)^2 + (0 - 4)^2 = R^2 \]
Но ранее мы выразили \( R^2 \) как:
\[ R^2 = (3 - x_0)^2 + 16 \]
Подставим это в уравнение окружности:
\[ (3 - x_0)^2 + 16 = R^2 \]
Это совпадает с нашим выражением, что подтверждает правильность.
Шаг 4: Используем условие касания оси \( x \)
Поскольку окружность касается оси абсцисс (оси \( x \)), то точка касания — это единственная точка пересечения окружности с осью \( x \).
На оси \( x \), \( y=0 \), тогда уравнение:
\[ (x - x_0)^2 + (0 - 4)^2 = R^2 \]
Подставим \( R^2 = (3 - x_0)^2 + 16 \):
\[ (x - x_0)^2 + 16 = (3 - x_0)^2 + 16 \]
Упростим:
\[ (x - x_0)^2 = (3 - x_0)^2 \]
Это равенство истинно, когда:
\[ x - x_0 = \pm (3 - x_0) \]
Разберем оба варианта:
- Первый случай:
\[ x - x_0 = 3 - x_0 \implies x = 3 \]
- Второй случай:
\[ x - x_0 = - (3 - x_0) \implies x - x_0 = -3 + x_0 \implies x = 2x_0 - 3 \]
Поскольку касание происходит в единственной точке, то обе эти точки должны совпадать, то есть:
\[ x=3 \quad \text{и} \quad x=2x_0 - 3 \]
Значит, чтобы окружность касалась оси в единственной точке, эти два выражения должны быть равны:
\[ 3 = 2x_0 - 3 \implies 2x_0 = 6 \implies x_0=3 \]
Шаг 5: Находим радиус \( R \)
Теперь, когда \( x_0=3 \), найдем радиус:
\[ R = \sqrt{(3 - x_0)^2 + 16} = \sqrt{(3 - 3)^2 + 16} = \sqrt{0 + 16} = 4 \]
Итог:
- Центр окружности: \( (x_0, y_0) = (3, 4) \),
- Радиус: \( R=4 \).
Ответ: уравнение окружности
\[ \boxed{ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 } \]
Если есть вопросы или нужно пояснение — с удовольствием помогу!
