Напишите уравнение окружности с центром на прямой у=4 и касающиеся оси абсцисс в точке(3;0)

Давайте подробно решим задачу по шагам. Задача: Написать уравнение окружности, у которой: - Центр лежит на прямой \( y = 4 \). То есть, координаты центра имеют вид \( (x_0, 4) \). - Окружность касается оси абсцисс (оси \( x \)). То есть касание происходит в одной точке, и радиус окружности равен расстоянию от центра до касательной точки. - Эта касательная точка — \( (3, 0) \). --- ### Шаг 1: Определяем центр окружности Центр окружности имеет вид: \[ C(x_0, 4) \] ### Шаг 2: Находим радиус \( R \) Поскольку окружность касается оси \( x \) в точке \( (3, 0) \), эта точка — точка касания. Радиус окружности равен расстоянию от центра \( (x_0, 4) \) до точки касания \( (3, 0) \): \[ R = \text{расстояние между } (x_0, 4) \text{ и } (3, 0) \] Используем формулу расстояния между точками: \[ R = \sqrt{(3 - x_0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(3 - x_0)^2 + 16} \] --- ### Шаг 3: Условие касания Поскольку точка \( (3, 0) \) — точка касания, она должна лежать на окружности. Тогда уравнение окружности: \[ \text{Оно задается как:} \quad (x - x_0)^2 + (y - 4)^2 = R^2 \] Подставим точку касания \( (3, 0) \): \[ (3 - x_0)^2 + (0 - 4)^2 = R^2 \] Но ранее мы выразили \( R^2 \) как: \[ R^2 = (3 - x_0)^2 + 16 \] Подставим это в уравнение окружности: \[ (3 - x_0)^2 + 16 = R^2 \] Это совпадает с нашим выражением, что подтверждает правильность. --- ### Шаг 4: Используем условие касания оси \( x \) Поскольку окружность касается оси абсцисс (оси \( x \)), то точка касания — это единственная точка пересечения окружности с осью \( x \). На оси \( x \), \( y=0 \), тогда уравнение: \[ (x - x_0)^2 + (0 - 4)^2 = R^2 \] Подставим \( R^2 = (3 - x_0)^2 + 16 \): \[ (x - x_0)^2 + 16 = (3 - x_0)^2 + 16 \] Упростим: \[ (x - x_0)^2 = (3 - x_0)^2 \] Это равенство истинно, когда: \[ x - x_0 = \pm (3 - x_0) \] Разберем оба варианта: - **Первый случай:** \[ x - x_0 = 3 - x_0 \implies x = 3 \] - **Второй случай:** \[ x - x_0 = - (3 - x_0) \implies x - x_0 = -3 + x_0 \implies x = 2x_0 - 3 \] Поскольку касание происходит в единственной точке, то обе эти точки должны совпадать, то есть: \[ x=3 \quad \text{и} \quad x=2x_0 - 3 \] Значит, чтобы окружность касалась оси в единственной точке, эти два выражения должны быть равны: \[ 3 = 2x_0 - 3 \implies 2x_0 = 6 \implies x_0=3 \] --- ### Шаг 5: Находим радиус \( R \) Теперь, когда \( x_0=3 \), найдем радиус: \[ R = \sqrt{(3 - x_0)^2 + 16} = \sqrt{(3 - 3)^2 + 16} = \sqrt{0 + 16} = 4 \] ### Итог: - Центр окружности: \( (x_0, y_0) = (3, 4) \), - Радиус: \( R=4 \). --- ### **Ответ: уравнение окружности** \[ \boxed{ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16 } \] --- Если есть вопросы или нужно пояснение — с удовольствием помогу!