Розв’яжемо задачу крок за кроком.
Дано:
Маса першого сплаву: ( M_1 = 20 ) кг
Містить 25% міді: ( P_1 = 25% )
Масса другого сплаву: ( M_2 = 125 ) кг
Містить 20% міді: ( P_2 = 20% )
Потрібно додати ( x ) кг другого сплаву до першого, щоб отримати новий сплав з 24% міді.
Крок 1: Знаходимо кількість міді в кожному з початкових сплавів:
Мідь у першому сплаві:
[ M_{мідь,1} = M_1 \times \frac{P_1}{100} = 20 \times 0.25 = 5 \text{ кг} ]
Мідь у другому сплаві:
[ M_{мідь,2} = M_2 \times \frac{P_2}{100} = 125 \times 0.2 = 25 \text{ кг} ]
Крок 2: Знаходимо масу і кількість міді у новому сплаві:
Після додавання ( x ) кг другого сплаву:
Загальна маса сплаву:
[ M_{заг} = M_1 + x = 20 + x ]
Загальна кількість міді у новому сплаві:
[ M_{мідь, новий} = M_{мідь,1} + M_{мідь,2} ]
Але тут потрібно врахувати, що до першого сплаву додається частина другого, тому кількість міді у новому сплаві:
[ M_{мідь, новий} = 5 + 25 = 30 \text{ кг} ]
Але це не так, оскільки ми додаємо x кг другого сплаву, то кількість міді у новому сплаві з урахуванням додавання:
[ M_{мідь,новий} = 5 + \left( x \times \frac{20%}{100} \right) = 5 + 0.2x ]
Крок 3: Визначаємо необхідну концентрацію міді у кінцевому сплаві:
Ми хочемо, щоб у новому сплаві містилася 24% міді:
[ \frac{\text{кількість міді}}{\загальна маса сплаву} = 0.24 ]
Отже,
[ \frac{5 + 0.2x}{20 + x} = 0.24 ]
Крок 4: Розв'яжемо рівняння:
[ 5 + 0.2x = 0.24 (20 + x) ]
Розкриваємо дужки:
[ 5 + 0.2x = 0.24 \times 20 + 0.24x ]
[ 5 + 0.2x = 4.8 + 0.24x ]
Переміщаємо всі до одного боку:
[ 5 - 4.8 = 0.24x - 0.2x ]
[ 0.2 = 0.04x ]
Ділимо обидві частини на 0.04:
[ x = \frac{0.2}{0.04} = 5 ]
Відповідь:
Щоб отримати сплав, що містить 24% міді, потрібно додати 5 кг другого сплаву.
